2023-2024学年广东省广州市番禺区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

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4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．
1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．神舟十五号载人飞船与神舟十四号乘组在距离地球约400000米的中国空间站胜利会师，将400000用科学记数法表示为，下列说法正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．如图，在中，，，则外角的度数是（ ）

A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（ ）
A．2B．3C．5D．8
6．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．五边形
8．若是一个关于的完全平方式，那么k值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
10．如图，已知是等腰三角形，，，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，在的纸片中，，沿剪开得四边形，则的度数为 °．
13．如图，将一把含有角的三角尺的直角顶点放在一张宽的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成，则三角尺的直角边的长为 ．

14．我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如就能利用图1的面积进行验证．那么，能利用图2的面积进行验证的含x、y、z的等式为 ．
15．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，请你添加一个条件，使得．你添加的条件是： ．（写出一个符合题意的即可）
16．运用分式的知识，解决以下问题：
当时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
当时，若x无限增大，则的值无限接近一个数，这个数为 ．
三、解答题：本大题共72分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
17．计算：
(1)
(2)
18．分解因式：
(1)；
(2)．
19．如图，已知AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB．
求证：OC=OD．
20．为筹办一个大型运动会，某地打算修建一个大型体育中心，已知该地有三个城镇中心（图1中以P，Q，R表示）和两条高速公路（图1中以线段PQ，线段PR表示），在选址过程中，小度同学建议该体育中心所在位置应与该地人口较多的城镇中心P，Q的距离相等，且到两条高速公路PQ，PR的距离也相等．请你根据上述小度的建议，试在图2中标出体育中心M的位置．（请保留作图痕迹，不必写作法）
21．如图，已知，，E、F是上两点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
23．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．
(1)在图1中，若，，，求和的面积；
(2)在图2中，若，求证：．
24．列分式方程解下列应用题：
(1)为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车．已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等．求A型车的单价．
(2)用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
25．如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
(1)如图1，直接写出的大小；（用含、的式子表示）
(2)如图2，当时，E为外的一点，，，判断的形状，并加以证明．
(3)若将线段也绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，请探究与的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）逐项进行判断即可得．
【详解】解：轴对称图形：在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，
选项中只有D选项符合轴对称图形的定义，
故选：D．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的定义，理解此定义是解题关键．
2．B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵将400000用科学记数法表示为，
∴，．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查三角形的外角的性质．利用三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，直接计算即可．
【详解】解：由图可知：；
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和幂的乘方等计算，运用相关公式计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
5．C
【详解】设第三边长为x，
则由三角形三边关系定理得，
5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜7．
故选C．
6．B
【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记特点是解题的关键．
【详解】点关于y轴对称的点的坐标是
故选：B．
7．A
【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用，根据边形的内角和为，外角和为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意，得：，
解得：；
∴这个多边形是八边形；
故选A．
8．C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
9．C
【分析】首先求得点关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，此时最短，
与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
10．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质及坐标与图形的性质．以点为圆心，为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点为圆心，为半径的圆与坐标轴有三个交点；以为底，与坐标轴有两个点，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴有三个交点，，；
以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴有三个交点，，；
以为底，与坐标轴有两个点，
∵，，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
综上，满足条件的点有6个．
故选：C．
11．
【分析】根据分式有意义的条件计算即可；
【详解】∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
12．270
【分析】本题考查三角形的内角和定理．根据，得到，再根据，即可得出结果．掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：270．
13．6
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质．如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作于H，

∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，，
∴等腰直角三角形的直角边，
故答案为：6．
14．
【分析】本题考查了多项式的乘法公式的应用．根据图形，利用面积的不同计算方法可以写出相应的等式．
【详解】解：总，是边长为的正方形，面积为，
分，由三个小正方形和6个小长方形组成，面积为，
∴，
故答案为：．
15．AC＝BD（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：添加的条件是AC＝BD（答案不唯一），理由如下：
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（HL），
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
16． 减小 3
【分析】本题考查分式的性质．由的变化情况，判断的变化情况即可．
【详解】解：∵，
当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小，即的值减小；
当时，若x无限增大，则无限接近于0，
∴的值无限接近于3，
故答案为：减小，3．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查整式的乘法．
（1）利用单项式乘以多项式的法则，进行计算即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可．
掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．
（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可
【详解】（1）解：
；
（2）
．
19．证明见解析．
【分析】首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DCAB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO．
【详解】证明：∵ABCD
∴∠A＝∠C， ∠D＝∠B
∵OA=OB
∴∠A＝∠B
∴∠C＝∠D
∴OC＝OD
20．图见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，根据题意，得到点是线段的中垂线以及的角平分线的交点，根据尺规作垂线和角平分线的方法作图即可．解题的关键是确定点的位置．
【详解】解：由题意，得：点是线段的中垂线以及的角平分线的交点，如图所示：
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意易证，根据平行线的性质可得出，从而可由证明；
（2）根据三角形外角的性质得出，再根据全等三角形的性质即得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即．
又∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
22．（1）；（2），
【分析】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1），
方程两边乘，得
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，原分式方程的解为；
（2）
，
当时，原式
23．(1)2，12
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；
（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得，，，再根据等角对等边证得，进而可证得结论．
本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
【详解】（1）解：由折叠性质得：，，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：由折叠性质得，，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．(1)A型车的单价为9万元
(2)两车不能同时到达终点，理由见解析；当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元，根据用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等列出方程求解即可；
（2）设“和谐号”的速度为，根据“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差列出方程求出“和谐号”的速度，进而求出重新比赛后两辆车到达终点的时间即可得到结论；设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为，根据时间路程速度列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：A型车的单价为9万元；
（2）解：两车不能同时到达终点，理由如下：
设“和谐号”的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴“和谐号”的速度为；
∴重新比赛时，“畅想号”到达终点的时间为，“和谐号”到底终点的时间为
∴两车不能同时到达终点；
设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点．
25．(1)或
(2)等边三角形，见解析
(3)或，理由见解析
【分析】（1）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可；
（2）连接，先证明，再证明，得到即可；
（3）分点在之间和点在之间，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，
当在的内部时：；
当在的外部时：；
综上：或；
（2）解：为等边三角形，证明如下：
连接，
∵旋转，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）解：当点在之间时，如图：
∵旋转，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当点在之间时，如图，
同理可得：，，
∴，
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，构造全等三角形，是解题的关键．