2023-2024学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区第八中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区第八中学九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
2．下列计算正确的是( )
A．＋＝B．÷＝2C．()－1＝D．(－1)2＝2
3．下列根式中，不能与合并的是( )
A．B．C．D．
4．一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
5．已知一元二次方程的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）
8．已知且，则为（ ）
A．B．C．D．
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么csB的值为( )
A．B．C．D．不能确定
10．在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．1 个B．1 个C．1 个D．1 个
11．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
12．若关于x的方程与有一个相同的实数根，则m的值为（ ）
A．3B．2C．4D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
13．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= ．
14．方程3x2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 ．
15．一元二次方程的求根公式为 ．
16．已知，则的值为 ．
17．小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了 m.
18．中，若，则 度．
19．计算∶ ．
20．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝ ．
三、解答题（共60分）
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．计算∶
(1)；
(2)．
23．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．
（1）在图中画出四边形AB′C′D′；
（2）填空：△AC′D′是 三角形．
24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
25．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
26．完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，，2，，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，并从盒子中随机摸球两次（第一次摸出球后把球放回并摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点不在第四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
27．甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
(1)求甲乙两件服装的进价各是多少元；
(2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率．
28．将一副三角板如图拼接：含角的三角板（）的长直角边与含（角的三角板）的斜边恰好重合．已知，P是上的一个动点，连接．
(1)当点P运动到的平分线上时，求的长；
(2)当点P在运动过程中出现时，求此时的度数．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．B
【详解】解：与不能合并，所以A选项错误；
B．原式==2，所以B选项正确；
C．原式=，所以C选项错误；
D．原式==，所以D选项错误．
故选B．
3．C
【详解】解：A.，本选项不合题意；
B.，本选项不合题意；
C.，本选项合题意；
D.，本选项不合题意；
故选C．
4．B
【详解】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，∆=（﹣2）2﹣4×4×=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B．
5．D
【详解】∵方程的两根分别为m、n，
∴根据根与系数的关系得m+n=2．
故选D．
6．D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
移项后，利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
7．B
【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选B．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
8．C
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
【详解】解∶∵且，
∴
故选∶C．
9．A
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【详解】在直角三角形中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴csB=sinA=．
故选A．
【点睛】掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
10．D
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：，
经检验x=12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
11．A
【详解】试题解析：本题主要考查一元二次方程，设原正方形空地的边长为 m，则剩余的面积可以表示为 ，即，解得 （不符合题意）.所以原正方形的边长为7 m，故选A.
12．A
【详解】本题考查根据方程根的情况求求参数，可联立解方程组．用其中一个未知数表示另一个未知数，解出x关于m的代数式，再代入其中一个方程，即可求得m值．
解：由方程得由方程得．
则有，即．
把代入方程，
得方程，从而解得．
故选：A．
13．9
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，解得k=9．
故答案为：9
14． 3 -5
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵3x2=5x+2的一般形式为3x2-5x-2=0，
∴二次项系数为3，一次项系数为-5．
故答案为3，-5
【点睛】此题主要考查确定一元二次方程的各项系数的方法．要求一元二次方程的系数首先必须把方程化成一般形式，才能确定各项系数．
15．
【分析】根据一元二次方程的求根公式直接回答即可.
【详解】一元二次方程的求根公式为.
【点睛】本题是对一元二次方程求根公式的考查，准确记忆一元二次方程求根公式是解决本题的关键.
16．
【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值．
【详解】令
则a=6k，b=5k，c=4k
则
故答案为：．
【点睛】本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法．
17．25
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1：，∴tan∠A=1： =，∴∠A=30°，∵AB=50m，∴BE=AB=25（m），∴他升高了25m．故答案为25．
点睛：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
18．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值．
【详解】解：由题意知，，
，，
∴，，
∴，
故答案为：105．
19．2
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先根据特殊角的三角函数值得到原式化为，然后进行二次根式的混合运算即可．熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为2．
20．
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．
【详解】
在直角△ABD中，BD=1，AB=2，
则AD===，
则sinA= ==.
故答案是：.
21．(1)，
(2)
【分析】本题考查了因式分解法，配方法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法，配方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
解得，，；
（2）解：，
，
，
∴，
解得，．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理数、零指数幂、积的乘方、平方差公式等知识，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先分母有理化，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的乘法运算；
（2）根据积的乘方、零指数幂和二次根式的性质、平方差公式求解原式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
23．（1）作图见试题解析；（2）等腰直角．
【分析】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；
（2）利用勾股定理求出，，，可以得到AD′=C′D′，，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．
【详解】（1）如图所示：
（2）∵=16+64=80，=36+4=40，=36+4=40，∴AD′=C′D′，，
∴△AC′D′是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角．
考点：作图-位似变换．
24．
【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
试题解析：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．
考点：相似三角形的判定与性质．
25．（1）证明见试题解析；（2）90°．
【详解】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵．
∴△ACD∽△CBD；
（2）∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
考点：相似三角形的判定与性质．
26．
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
【详解】解：根据题意列表如下：
∵共有16种等可能的情况，其中不在第四象限的有12种情况，
∴不在第四象限的概率为：．
27．(1)甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元；
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设甲服装的进价为元，则乙服装的进价为元，根据公式“总利润总售价总进价”，列出方程并求解即可；
（2）利用乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，设每件乙服装进价的平均增长率为，利用增长率公式列方程并求解即可获得答案．
【详解】（1）解：设甲服装的进价为元，则乙服装的进价为元，
根据题意，可得，
解得，
∴．
答：甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元；
（2）∵乙服装的进价为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，
可设每件乙服装进价的平均增长率为，
则，
解得，（不合题意舍去）．
答：每件乙服装进价的平均增长率为．
28．(1)
(2)或
【分析】（1）作，在直角中，由直角三角形的特征得，再由正切三角函数得，可求，由，则的长可以求得，然后在直角中利用勾股定理得，即可求解；
（2）分两种情况进行讨论：①当P点在的左边时，由余弦函数，可求，由，即可求解；②当P点在的右边时，同理①即可求解．
【详解】（1）解：如图（1），作交于，
在中，，，
，
，
中，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：①当P点在的左边时，如图（2）所示，
根据（1）中结论，，，
又
，
；
②当P点在的右边时，如图（3）所示，
同①可得，
；
综上所述：的度数为或．
【点睛】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数，掌握相关的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
1
2
1
2