2023-2024学年辽宁省大连市庄河市九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市庄河市九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃B．0℃C．-10 ℃D．-20℃
2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻B．任意画一个三角形，其内角和是
C．每天买一张彩票，一定会中奖D．投一枚骰子朝上的数字是6
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．若，且相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( )

A．B．C．D．
9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
10．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．方程的根为 ．
12．袋子中有4个黑球和3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出一个球，摸到白球的概率为 ．
13．在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是 ．
14．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会四术”．如图，是以点为圆心，为半径的圆弧，是AB的中点．．“会圆术”给出的长的近似值计算公式：．当时，的值为 ．
15．如图，线段，点C是线段上的动点，将线段绕点A逆时针旋转120°得到线段，连接，在的上方作，使，点F为的中点，连接，当最小时，的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)；
(2)
17．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
18．为庆祝中国共产党成立102周年，某校开展主题教育活动，活动分四项：A项参观学习，B项党史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)求本次调查所抽取的学生数，并直接补全条形统计图（图上标注人数）；
(2)求B项活动所在扇形的圆心角的大小；
(3)若该校约有1600名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
19．如图，在等腰中，，点O是的中点，边的长为，将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与相交，交点为点D，另一条直角边与相交，交点为点E，求等腰直角三角形的边被三角板覆盖部分的两条线段与的长度之和．
20．乒乓球被誉为中国国球．年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的竖直高度是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是_______；
(3)求满足条件的抛物线解析式．
21．如图1所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，连接，平分交于点F，直线l过点F与线段的延长线交于点E．且满足．
(1)求证：直线l是的切线；
(2)如图2所示，若点D是弧的中点．延长交直线l于点G，且；
①求证：；②若，，求四边形的周长．
22．【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．

【类比分析】
（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；

①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．

23．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
【问题初探】
（1）如下图，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】
（2）如下图，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到．
①求点C的坐标；
②若抛物线过A、C两点，求该抛物线的解析式；
【探究延伸】
（3）如下图，在（2）条件下，直线与x轴交于D，与y轴交于点E，点F为第二象限内抛物线上一动点，过点F作直线轴交于G，连接，当时，求点F的横坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．
【详解】解：若零上记作，则零下可记作：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2．D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义“如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形”进行判断即可．
【详解】中心对称图形的定义“如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身完全重合，这个图形是中心对称图形”可判断A，B，C选项的图形不是中心对称图形，D选项的图形是中心对称图形．
故选：D
3．C
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了必然事件的判断，必然事件是在一定条件下一定能发生的事件．根据必然事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：因为打开电视机，正在播放新闻是随机事件，所以A不符合题意；
因为任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，所以B符合题意；
因为每天买一张彩票中奖是随机事件，所以C不符合题意；
因为掷一次骰子，向上一面是6点是随机事件，所以D不符合题意．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解是解题的关键．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90度．由题意知，结合，推出，根据同弧所对的圆周角相等即可得到．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
设该反比函数解析式为，
当时，，
即电流为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．
9．C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
10．D
【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵时，，
∴，
∴，即，故③正确；
由函数图象可知，当时，，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
11．，
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可求解．
【详解】解：方程可化为，
∴或，
∴，．
故答案为：，
12．
【分析】本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．根据题意，让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：根据题意，袋子中有4个黑球和3个白球，
∴摸到白球的概率为：；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查中心对称，掌握若点关于原点中心对称的点的坐标是，即可解题．
【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查圆中的垂径定理，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求的长度．
连接，根据是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，，知共线，由，知是等边三角形，得，即得，故．
【详解】解：连接，如图：
∵是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，，
∴，
∴共线，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．6
【分析】此题考查了利用二次函数的最值求线段长，根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，，，进而推出为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小．
【详解】解：连接，过点作于点，

，点为的中点，
，
，
，，，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，，
，
，，
，
设，则，，，
由勾股定理得：．
当时，有最小值为，
当最小时，的长为2，
故答案为：6．
【点睛】本题涉及了旋转的性质，勾股定理，二次函数求最值. 解题的关键是连接，用勾股定理表示得二次函数解析式.
16．(1)7；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了实数的运算．
（1）羡慕利用平方差公式、立方根的定义计算，再进行除法运算，然后进行有理数的加减运算；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
所以，．
17．(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
(2)租14辆45座客车较合算
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
18．(1)本次调查所抽取的学生数是20人，补全图形见解析
(2)B项活动所在扇形的圆心角是
(3)估计该校意向参加“参观学习”活动的人数为640人
【分析】（1）由条形统计图中“项”参加人数及扇形统计图中“项”的百分比，根据“总体=部分对应百分比”，即可计算本次调查所抽取的学生数，样本总数减去参加其他项活动的人数可得到参加“项”的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据“圆心角度数对应百分比”，即可计算项活动所在扇形的圆心角度数；
（3）根据样本估计总体，即用总人数乘以样本中“参观学习”的人数所占比例可得答案．
【详解】（1）解：条形统计图中“项”参加人数为16，扇形统计图中“项”的百分比是20%，
本次调查所抽取的学生数为： （人），
项活动意向参加人数为：（人），
补全条形统计图如下图：
答：本次调查所抽取的学生数是20人．
（2）解：项活动所在扇形的圆心角为，
答：项活动所在扇形的圆心角是．
（3）解：项活动占本次调查所抽取的学生数百分比为，
（人），
答：估计意向参加“参观学习”活动的人数为640人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，理解条形统计图和扇形统计图数据表达的意思，掌握样本容量的计算方法，圆心角的计算方法，根据样本百分比估算总体的方法是解题的关键．
19．10
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
连接，根据等腰可求得，再由“三线合一”与“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得，，由 ，，得到，从而通过“”证明，得到．在等腰中，根据勾股定理求得，从而．
【详解】连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在等腰中，点O是的中点，
∴，，
，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∵在等腰中，，，
∴，即，
∴，
∴．
20．(1)图形见解析
(2)49，230
(3)抛物线解析式为
【分析】（1）依据题意，根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）依据题意，根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
（3）依据题意，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：描出各点，画出图象如下：
（2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
（3）解：设抛物线解析式为，
将代入得，，
∴解得：，
∴抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②四边形的周长
【分析】（1）连接，先证明，即有，即可得，问题随之得解；
（2）①连接，结合直径所对圆周角为直角以及圆内接四边形的性质即可证明；②先利用勾股定理即可得，再结合①的结论可得，即，问题随之得解．
【详解】（1）连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
直线为的切线；
（2）①连接，
为直径，
，
又，，
；
②点D是弧的中点，
，
为直径，
，
，
根据勾股定理：，，
，
由（2）①知，，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定、圆内接四边形的性质，是解答本题的关键．
22．（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）利用证明即可；
（2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可；
（3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，

和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
（2）如图2，过点作平分交于，

四边形中，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
即，
由旋转得：，，
，
，
；
（3）如图3，以、为边作平行四边形，连接，
则，，，，

设，则，
，
，
又，
是等边三角形，
将绕点逆时针旋转得，连接，
是等边三角形，，，
，
，
，
即，
，
即的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键．
23．（1）证明见解析；（2）① C的坐标，②该抛物线的解析式为；（3）故点F的横坐标为或．
【分析】（1）本题考查全等三角形的性质与判定和直角三角形两个锐角互余，根据题意推出，再结合题干条件，即可解题 ．
（2）①本题根据一次函数解析式，得出A、B两点的坐标，作轴于点Q，由旋转的旋转得出，，结合（1）的解题步骤，证明，利用全等三角形性质得出、、即可解题 ．
②本题将A、C两点的坐标代入解析式求解，即可解题 ．
（3）本题根据一次函数解析式，得D、E两点的坐标，设F的坐标为，则，利用勾股定理表示出，，根据，建立方程并求解，即可解题 ．特别注意F在第二象限 ．
【详解】（1）证明：，，，
，
，，
，
，
．
（2）①解：一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
，
当时，有，解得，
，
线段绕点B逆时针旋转得到．
，，
，
作轴于点Q，如图所示：
，
，
，
，
，
，，，
．
②将A、C两点的坐标代入中，
有，解得，
抛物线的解析式为 ．
（3）解：直线与x轴交于D，与y轴交于点E，
由①同理可得：，，
点F为第二象限内抛物线上一动点， 轴并交于G，
设F的坐标为，则，
则，，
，
，
整理得，有，
即或，解得，，，，
当时，有，解得，，
，
的取值为或，
故点F的横坐标为或．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、直角三角形两个锐角互余、一次函数图象与性质、用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理，熟练掌握相关知识即可解题 ．
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
庆祝中国共产党成立102周年主题教育活动调查问卷请在下列选项中选择您的活动意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作．
A项参观学习□ B项党史宣讲□ C项经典诵读□ D项文学创作□
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
33
45
49
45
33
0