2023-2024学年吉林省白山市江源区九年级(上)学期期末数学试题(含解析)
展开九年级数学试题
(考试时间:90分钟 试卷满分:150分)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)
1.对称美是美的一种重要形式,它能给与人们一种圆满、协调和平的美感,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,下列汽车的标识是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
2.用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时,配方后得到的方程为( )
A.(x﹣1)2=4B.(x﹣1)2=﹣4C.(x+1)2=4D.(x+1)2=﹣4
3.在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(﹣1,﹣2)B.(﹣1,2)C.(1,﹣2)D.(2,1)
4.下列事件中是必然事件的是( )
A.任意一个三角形的外角和等于180°
B.一个数与它的相反数的和是0
C.明天会下雨
D.正月十五雪打灯
5.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( )
A.25°B.50°C.60°D.30°
6.如图,一个可以自由转动的转盘,被分成了白色和红色两个区域,任意转动转盘一次, 当转盘停止转动时(若指针停在边界处,则重新转动转盘),指针落在红色区域内的概率是( )
A.B.C.D.
7.如果在二次函数的表达式y=2x2+bx+c中,b>0,c<0,那么这个二次函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
8.某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力开展植树造林活动,2020年底森林覆盖率达到68%,如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么,符合题意的方程是( )
A.B.
C.D.
9.如图,将绕点逆时针旋转得到,若且于点,则的度数为( )
A.B.C.D.
10.如图,已知抛物线与直线交于,两点,则关于的不等式的解集是( )
A.或B.或C.D.
二、填空题(每题3分,共18分)
11.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,﹣2)的抛物线解析式 .
12.一元二次方程有两个相等的实数根,则k的值为 .
13.如图,AB是⊙O的直径,O为圆心,点C是半圆O上的点,若∠CAB=4∠CBA,点D是上任意一点,则∠BDC的度数为 度.
14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表:则当x=0时,y的值为 .
15.一副直角三角板位置如图所示,∠A=45°,∠M=30°,若O为AC中点,CD=1,AE=3,连接DE,则DE的长为 .
16.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠CAD=∠BCD=45°,AC=4cm,则△ABD的周长为 cm.
三、解答题(共102分)
17.解方程:x(x﹣4)=2﹣8x.
18.在湖州创建国家卫生文明城市的过程中,张辉和夏明积极参加志愿者活动,当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择:
①清理类岗位:清理花坛卫生死角;清理楼道杂物(分别用表示).
②宣传类岗位:垃圾分类知识宣传;交通安全知识宣传(分别用表示).
(1)张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名,恰好选择清理类岗位概率为是 ;
(2)若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名,请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率.
19.已知关于x的一元二次方程mx2﹣6x+5=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m为正整数时,求方程的根.
20.如图,在宽为20m,长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为551m2,求道路的宽.
21.如图,在中,,,以点为圆心,为半径的圆交的延长线于点,过点作的平行线,交于点,连接.
(1)求证:为的切线;
(2)若,求弧的长.
22.如图①,桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式;
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时,桥下水位刚好在OA处,有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平).
23.列方程(组)解应用题
端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元;
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元?
24.若,为等腰三角形,,,将绕点旋转,连接,为中点,连接,.
(1)若,如图1,试探究与的关系并证明;
(2)若,,如图2,请直接写出与的关系.
25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+x经过点A(3,4).
(1)求a的值;
(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,在直线AB上任取一点P,作点A关于直线OP的对称点C;
①当点C恰巧落在x轴时,求直线OP的表达式;
②连结BC,求BC的最小值.
参考答案与解析
1.C
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可.
【详解】解:A.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B. 不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C. 是中心对称图形,故本选项符合题意;
D. 不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
故选:C
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180°后能与原图形完全重合,故在判断是否是中心对称图形时要找对称中心,旋转180°后能与自身重合.
2.A
【分析】移项后把左边配成完全平方式,右边化为常数.
【详解】x2−2x=3,
x2−2x+1=3+1,即(x−1)2=4.
故答案选:A.
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法,解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-配方法.
3.A
【分析】根据若两点关于坐标原点对称,横纵坐标均互为相反数,即可求解.
【详解】解:∵P(1,2),
∴点P关于原点对称的点的坐标是:(-1,-2).
故选:A
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点:横纵坐标均互为相反数.
4.B
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案.
【详解】解:∵三角形的外角和等于360°,
∴任意一个三角形的外角和等于180°不是必然事件,是不可能事件,
∴A错误;
∵相反数的和为零,
∴一个数与它的相反数的和为0是必然事件,
故B正确;
∵明天会下雨是随机事件,不是必然事件,
故C错误;
∵正月十五雪打灯是随机事件,不是必然事件,
故D错误.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义,正确掌握相关定义是解题关键.
5.A
【详解】如图,∵∠BOC=50°,
∴∠BAC=25°,
∵AC∥OB,
∴∠OBA=∠BAC=25°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=25°.
故选A.
6.C
【分析】认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的应用, 据此计算后选择求解.
【详解】解: 转盘被等分成红、白二个扇形,且红色区域的圆心角为,
指针落在红色区域的概率是P==
故选C.
【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的定义和公式的运用, 据此计算后求解.
7.B
【分析】由a=2,b>0,c<0,推出-<0,可知抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的左边,交y轴于负半轴,由此即可判断.
【详解】解:∵a=2,b>0,c<0,
∴-<0,
∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的左边,交y轴于负半轴,
故选:B.
【点睛】本题考查二次函数的图象,解题的关键是熟练掌握基本知识,灵活运用所学知识解决问题.
8.B
【分析】设年平均增长率为x,根据2020年底森林覆盖率=2018年底森林覆盖率乘,据此即可列方程求解.
【详解】解:设年平均增长率为x,由题意得:
,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,列出方程即可.
9.C
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°,∠E=∠ACB=70°,由直角三角形的性质可得∠DAC=20°,即可求解.
【详解】解:∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE,
∴∠BAD=55°,∠E=∠ACB=70°,
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=20°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°.
故选C.
【点睛】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是本题的关键.
10.D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题,根据二次函数图象的对称性,以及两一次函数图象的关系,求出新的一次函数与二次函数的交点,从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.
【详解】与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴,
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为,则,
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为:
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称,二次函数与不等式,数形结合是数学中的重要思想之一,解决函数问题更是如此.理解与关于y轴对称是解题的关键.
11.y=x2-2(答案不唯一)
【分析】根据二次函数的性质,开口向上,要求a值大于0即可.
【详解】解:抛物线y=x2-2开口向上,且与y轴的交点为(0,-2).
故答案为:y=x2-2(答案不唯一).
【点睛】本题考查了二次函数的性质,开放型题目,答案不唯一,所写抛物线的a值必须大于0.
12.1
【分析】根据判别式的意义得到,然后解关于的方程即可.
【详解】解:根据题意得,即,
解得:.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.
13.108
【分析】利用圆周角定理以及三角形内角和定理求出∠A=72°,可得结论.
【详解】解:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵∠CAB=4∠ABC,
∴5∠ABC=90°,
∴∠ABC=18°,∠A=72°,
∵∠CDB+∠A=180°,
∴∠BDC=108°,
故答案为:108.
【点睛】本题考查了圆周角定理,三角形内角和定理等知识,解题的关键是掌握圆周角定理.
14.-3
【分析】根据表格,选择合适的方法确定函数的解析式,把为转化为求函数值问题解答.
【详解】∵y=a+bx+c经过(-3,3),(-2,5),(-1,3),
∴,
解得
∴y=-2-8x-3,
当x=0时,
y= -3,
故答案为:-3.
【点睛】本题考查了表格法表示函数,二次函数解析式的确定,求函数值,学会根据表格确定点的坐标是解题基础,灵活运用待定系数法是解题的关键.
15.
【分析】连接OB,利用ASA证明△COD≌△BOE,得BE=CD,再利用勾股定理可得答案.
【详解】解:如图,连接OB,
∵△ABC是等腰直角三角形,O为AC的中点,
∴BO=OC,BO⊥AC,∠C=∠OBA=45°,
∴∠BOC=∠MON=90°,
∴∠COD=∠BOE,
∴△COD≌△BOE(ASA),
∴BE=CD,
∵AB=BC,
∴AE=BD,
∴BE=1,BD=3,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,
,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识,证明△COD≌△BOE是解题的关键.
16.8
【分析】过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,证明四边形AECF是正方形,将△DCF逆时针旋转90°,得到△CEG,证明△DBC≌△GBC,从而得到三角形的周长是AE+AF,根据AC的值,求出AE的长即可.
【详解】如图,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,
∵∠BAC=∠CAD=∠BCD=45°,
∴∠ACE=∠ACF=45°,∠EAF=90°,∠ECB+∠DCF=45°,
∴四边形AECF是矩形,AE=EC,
∴四边形AECF是正方形,
∵AC=4
∴AE=EC=CF=AF=4,
将△DCF逆时针旋转90°,得到△CEG,
∴∠DCF=∠ECG,CD=CG,DF=EG,
∵∠ECB+∠DCF=45°,
∴∠ECB+∠ECG=45°,
∴∠BCD=∠BCG,
∵BC=BC,
∴△DBC≌△GBC,
∴BD=BG=BE+EG=BE+DF,
∴△ABD的周长是AB+AD+BD=AB+AD+BE+DF=AE+AF=2AE=8,
故答案为:8.
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质,旋转的性质,三角形全等的判定和性质,正确构造正方形是解题的关键.
17.,
【分析】将原方程整理后再运用配方法,再开方,得到两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【详解】解:x(x﹣4)=2﹣8x
整理为:
方程两边都加上4,得,
∴
∴
∴,
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程,能够正确配方是解答本题的关键.
18.(1);(2).
【分析】(1)根据列举法易得;
(2)利用树状图绘制,总共有16种类型,满足条件的是4种,可求.
【详解】解:(1)张辉同学选择清理类岗位的概率为:;
故答案为:;
(2)画树状图为:
共有16种等可能的结果数,张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4,
所以他们恰好选择同一岗位的概率:.
【点睛】本题考查(1)利用频率估算法:大量重复试验中,事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的所有频率的平均值作为其概率);
(2)定义法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,考查事件A包含其中的m中结果,那么事件A发生的概率为;
(3)列表法:当一次试验要设计两个因素,可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.其中一个因素作为行标,另一个因素作为列标;
(4)树状图法:当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率.
19.(1)且
(2),
【分析】(1)利用一元二次方程的根的判别式,即可求解;
(2)根据m为正整数,可得,再解出方程,即可求解.
【详解】(1)解:∵一元二次方程mx2﹣6x+5=0有两个不相等的实数根,
∴且,
∴且;
(2)解:∵且,m为正整数,
∴,
∴方程为:,即,
解得:,.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的解法,二次函数,当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根是解题的关键.
20.
【分析】设道路的宽为,根据题意,列出方程,即可求解.
【详解】解:设道路的宽为,根据题意得:
,
解得:,(不合题意,舍去),
答:道路的宽为.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.
21.(1)见解析;(2)
【分析】(1)连接OB,先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°,再运用平行线的性质结合已知条件可得,再证明可得即可;
(2)先求出∠COD,然后再运用弧长公式计算即可.
【详解】(1)证明:连接
∵,
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点在上
∴是的切线;
(2)∵
∴
∴.
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点,掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键.
22.(1)y=-x2+2x (0≤x≤8);
(2)不会碰到头,理由见解析
【分析】(1)根据题意结合图象可以求出函数的顶点B (4,4),先设抛物线的顶点式y=a(x-4)2+4,再根据图象过原点,求出a的值即可;
(2)先求出工人矩原点的距离,再把距离代入函数解析式求出y的值,然后和1.68比较即可.
【详解】(1)解:如图②,由题意得:水面宽OA是8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m,
结合函数图象可知,顶点B (4,4),点O (0,0),
设二次函数的表达式为y=a(x-4)2+4,
将点O (0,0)代入函数表达式,
解得:a=-,
∴二次函数的表达式为y=-(x-4)2+4,
即y=-x2+2x (0≤x≤8);
(2)解:工人不会碰到头,理由如下:
∵小船距O点0.4m,小船宽1.2m,工人直立在小船中间,
由题意得:工人距O点距离为0.4+×1.2=1,
∴将x=1代入y=-x2+2x,
解得:y==1.75,
∵1.75m>1.68m,
∴此时工人不会碰到头.
【点睛】本题考查了二次函数的应用,求出函数解析式是解决问题的关键.
23.29元.
【分析】设这种水果每千克降价元,根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程,解一元二次方程,再由题意要尽可能让顾客得到实惠,筛选符合条件的的值,即可解题售价.
【详解】解:设这种水果每千克降价元,
则每千克的利润为:元,销售量为:千克,
整理得,
或,
要尽可能让顾客得到实惠,
即售价为(元)
答:这种水果的销售价为每千克29元.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
24.(1)且,见解析
(2)且,见解析
【分析】(1)延长至点,使,连接,,,延长交延长线于点.先证明,再证,得到为等腰直角三角形,即可求解;
(2)延长至点.使,连接,,,延长交延长线于点,先证明,再证,得到为等腰直角三角形,即可求解.
【详解】(1)解: 且,
延长至点,使,连接,,,延长交延长线于点,
,,,
,
,,
,
,
在四边形中,,
,
又,
,
又,,
,
,,
,
为等腰直角三角形,
点是中点,
,;
(2)且,
延长至点.使,连接,,,延长交延长线于点,
,,,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
又,,
,
,,
为等腰三角形,
,
,,,
由勾股定理可得,解得:,
且.
【点睛】本题考查了几何变换,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,熟练掌握三角形旋转后对应边与角的关系,灵活应用三角形全等的判定和性质是解题的关键.
25.(1)
(2)①y=-2x或y=x;②4-5
【分析】(1)根据待定系数法即可求得;
(2)①根据轴对称的性质和平行线的性质得出AP=AO=5,即可求得P1(8,4),P2(-2,4),进一步得出直线OP的表达式;
②点C在以O为圆心,OA长为半径作⊙O上,连接BO,交⊙O于点C,此时BC的值最小,由B(-12,4),得出OB=4,即可求得BC的最小值为4-5.
【详解】(1)∵抛物线y=ax2+x经过点A(3,4),
把A(3,4)代入y=ax2+x,则4=a×32+3,
∴a=;
(2)①情况一:如图1:由对称性可知OA=OC,AP=CP,
∵AP//OC,
∴∠1=∠2,
又∵∠AOP=∠2,
∴∠AOP=∠1,
∴AP=AO,
∵A(3,4),
∴AO=5,
∴AP=5,
∴P1(8,4),
设OP的解析式为
把(8,4)代入得,
∴
∴OP的解析式为
同理可得情况二:P2(-2,4),
∴OP的表达式为y=-2x,
综上,OP的解析式为y=-2x或y=x.
②如图2:
∵OA=OC,
∴点C在以O为圆心,OA长为半径作⊙O上,连接BO,交⊙O于点C,
此时BC的值最小,
∵B(-12,4),
∴OB= 4,
∴BC的最小值为BO-OC=4-5.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质,平行线的性质,明确题意,利用数形结合思想是解题的关键.
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y=ax2+bx+c
…
﹣13
﹣3
3
5
3
…
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