2023-2024学年湖南省长沙市明德天心中学七年级（上）学期期末数学试题（含解析）

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七年级 数学试卷 23-24学年第一学期
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．－5的相反数是( )
A．B．C．5D．-5
2．用科学记数法表示2350000正确的是（ ）
A．235×104B．0.235×107C．23.5×105D．2.35×106
3．下列说法错误的是（ ）
A．代数式，，都是整式B．单项式的系数是，次数是2
C．多项式的项是，D．多项式是二次三项式
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．在解方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（ ）
A．南偏东方向B．东偏南方向
C．南偏西方向D．南偏东方向
7．下列几何体的展开图中，能围成四棱锥的是（ ）
A．B．C．D．
8．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
9．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当，时，；
②当，时，；
③当，，时，；
④当，（，为整数）时，．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题， 每小题3分， 共18分）
11．比较大小： ．（用“”“”或“”连接）
12．若与是同类项，则 ．
13．春季足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在春季比赛中共比赛14场，现已比赛8场，输了1场，共得了17分，请问：前8场比赛中，这支足球队胜了 场．
14．一个角的度数为，则这个角的补角的度数是 ．
15．如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：“祝”、“你”、“考”、“试”、“顺”、“利”，将其围成一个正方体后，则与“考”相对的是 ．
16．已知关于x，y的代数式ax2+2x+x2﹣3y2﹣bx+4y﹣5的值与x的取值无关，则a﹣b= ．
三、解答题（本大题共9个小题， 第17、18、19题每小题6分， 第20、21题每小题8分， 第22、23题每小题9分， 第24、25题每小题10分， 共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简再求值： ，其中．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值．
21．如图，过点的直线，平分，，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
22．如图，，是线段上一点，为线段上一点，为的中点，．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．
23．小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本2元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是全部按标价的80%出售．小明要购买本练习本．
(1)当小明到甲商店购买时，需付款______元；当到乙商店购买时，需付款______元；
(2)买多少本练习本时，到两家商店花费相同？
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，选择哪家更划算？
24．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”．
(2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______．
(3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值．
(4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值．
25．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．

(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_____；
(2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将2350000用科学记数法表示为：2.35×106．
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】根据整式的定义，单项式的定义，多项式的定义，单项式的项和次数的定义，多项式的项和次数的定义依次判断即可．
【详解】A. 是多项式，是单项式，是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意；
B. 单项式的系数是，次数是2，故B选项正确，不符合题意；
C. 多项式的项是，，故C选项正确，不符合题意；
D. 多项式是三次三项式，故D选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了整式的相关概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的相关概念是解题的关键．
4．C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若，则，故此选项错误；
C、若，则，故此选项正确；
D、若，则，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
5．A
【分析】直接方程左右两边同时乘以6即可．
【详解】解：方程左右两边同时乘以6得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程中的去分母，解题的关键是找到最小公倍数．
6．D
【分析】此题考查了方向角的求解，解题的关键是熟练掌握方向角的有关知识．设正南方向，正北方向以及正东方向分别为点，根据题意求得的度数即可求解．
【详解】解：设正南方向，正北方向以及正东方向分别为点，如下图：
由题意可得：，，，
则，
即地在灯塔的南偏东方向，
故选：D
7．B
【分析】棱锥的侧面都是三角形，根据棱锥展开图的特点即可判断．
【详解】解：A、根据图形判断是长方体的展开图，不符合题意．
B、根据图形判断是四棱锥的展开图，符合题意．
C、根据图形判断是圆锥的展开图，不符合题意．
D、根据图形判断是圆柱的展开图，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
8．D
【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．
【详解】解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释；
现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，熟练运用以上知识是解题的关键．
9．C
【解析】略
10．B
【分析】根据运算法则，分别先求出前面的几个数值，再观察发现其规律，再判定结论错误与否即可．
【详解】解：当，时，
∴，
，故①不符合题意；
当，时，
∴，
，
，
，
，
，

，
∴

故②符合题意，
当，，时，
∴，
，
，
解得：或；故③不符合题意，
当，（，为整数）时，
∴，
，
，
，
，
，

∴
∴．故④符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大．
11．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较的方法：“两个负数比较大小绝对值大的反而小．”是解题的关键．
【详解】解：因为，，
，
所以，
所以；
故答案：．
12．6
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．根据同类项的定义，求出、的值，即可得到答案．
【详解】解：与是同类项，
，，
，，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了同类项，代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题关键．
13．5##五
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设在前8场比赛中这支足球队胜利的场数是x场，因为输了一场，因此平了场，根据题意可得等量关系：胜场得分平场得分分，根据的等量关系列出方程．
【详解】解：在前8场比赛中这支足球队胜利的场数是x场，则平了场，由题意得：
，
解得：．
故答案为：5．
14．
【分析】本题主要考查了补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握和为的两个角互为补角．
【详解】解：一个角的度数为，则这个角的补角的度数是：
．
故答案为：．
15．顺
【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据正方体表面展开图的“相间端是对面”，“同行个一列，同列隔一行”是相对面的方法即可求解；掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间端是对面”，“同行个一列，同列隔一行”是相对面的方法可知，
“考”的对面是“顺”，
故答案：顺．
16．-3
【分析】直接利用多项式与x无关, 进而得出关于x的同类项系数和为零, 进而得出答案.
【详解】解：关于,y的代数株式ax2+2x+x2﹣3y2﹣bx+4y﹣5的值与x的取值无关,可得的值与x的取值无关,
a+1=0,2-b=0,
解得:a=-1,b=2,
故a-b=-1-2=-3.
故答案为: -3.
【点睛】本题主要考查合并同类项，注意与x无关的条件.
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数混合运算；
（1）用乘法分配律进行运算，再进行乘法和加减运算，即可求解；
（2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，即可求解；
分清与，熟练使用乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．
【分析】将原式先去括号，再合并同类项化简，根据，可求出x，y的值，代入计算即可.
【详解】解：
∵
∴
即x-3=0,y+1=0,
∴x=3，y=-1
将其代入到上式中有.
【点睛】本题考查的是整式的加减和二次方的非负性和绝对值的非负性，能够求出x、y的值是解题的关键.
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，
（1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
掌握解方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把x系数化为1得：．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把x系数化为1得：．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义．
（1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可；
（2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值．
【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程，
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，原方程为，
解得．
方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，
关于的一元一次方程的解为，
将，代入方程中，得，
解得．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，角的和差表示；
（1）由角平分线的定义得，再由即可求解；
（2）由角平分线的定义得，由平角的定义得，即可求解；
理解定义，能将所求的角表示成已知角的和差是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴
，
∵，
∴
；
故的度数为．
（2）解：∵平分，，
∴
，
∴
；
故的度数为．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了线段的中点的定义，线段的和差；
（1）由线段中点的定义得，由可求的长，由即可求解；
（2）由线段中点的定义得，由可求的长，可设，，由即可求解；
理解线段中点的定义：“若点是线段的中点，则有．”，能用已知线段的和差表示所求线段是解题的关键．
【详解】（1）解：因为为的中点，，
所以，
所以
，
所以
；
故的长为．
（2）解：因为为的中点，，
所以，
所以
，
因为，
所以可设，，
因为，
所以，
解得：，
所以；
故的长为．
23．(1)，
(2)30本
(3)选择甲商店更划算
【分析】（1）利用总价=单价×数量，结合两家商店给出的优惠条件，即可用含x的代数式表示出到两家商店购买所需费用；
（2）根据两家商店花费相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分别将代入和中可求出到两家商店购买所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意得：小明到甲商店购买需付款（元）；
小明到乙商店购买需付款（元）．
故答案为：，；
（2）依题意得：，
解得：．
答：买30本练习本时，两家商店花费相同．
（3）当时，；
当时，．
∵，
∴选择甲商店更划算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出到各商店购买所需费用；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）代入，分别求出到各商店购买所需费用．
24．(1)不是
(2)
(3)，
(4)
【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解；
（2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解；
（3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解；
（4）由“天心方程”得，，从而可得，
，，将此代入代数式得化简即可求解．
【详解】（1）解：，
解得：，
，
不是天心方程，
故答案：不是；
（2）解：由解得，
一元一次方程是“天心方程”，
，
解得：，
故答案：；
（3）解：由解得：
，
方程的解为，
①，
一元一次方程是“天心方程”，
②，
联立①②，解得，
故，；
（4）解：一元一次方程是“天心方程”，
，
①，
关于的一元一次方程是“天心方程”，
，
，
②，
由①②得：③，
④，
⑤，
将③④⑤代入代数式得：
原式
．
【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键．
25．(1)
(2)当旋转的角度为时，是的内半角
(3)射线，，，能构成内半角，旋转的时间为秒或秒或秒
【分析】（1）由内半角的定义得，再由即可求解；
（2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解；
（3）设三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转秒，按射线所在范围的时间进行分类讨论：①当时，由角的和差得，，由内半角的定义列方程即可求解；②当时，同理①即可求解；③当时，此时是的内对角，由旋转过程得，，由内半角的定义列方程，即可求解．
【详解】（1）解：，是的内半角，
，
；
故答案：；
（2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；
理由如下：
由旋转得：，
，
，
是的内半角，
，
，
解得：；
（3）解：设三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转秒，
（秒），
（秒），
（秒），
①当时
如图④，

此时是的内对角，
，
，
，
，
解得：；
②当时，如图

此时是的内对角，
，
，
，
，
解得：；
③当时，如图

此时是的内对角，
，
，
，
解得：；
综上所述：射线，，，能构成内半角，旋转的时间为秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键．