2023-2024学年河北省保定市莲池区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市莲池区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了下列命题是真命题的有等内容，欢迎下载使用。

八年级数学试卷
注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答题标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
2．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ）
A．9、12、15B．41、40、9C．25、7、24D．6、5、4
3．如图，小手盖住的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ）
A．B．1C．D．
6．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的（ ）
A．◎代表B．@代表内错角C．▲代表D．※代表
7．如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．下列命题是真命题的有（ ）
（1）数轴上的点和实数是一一对应的；
（2）若点，则关于轴对称点的坐标为；
（3）三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角；
（4）中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知与是同一个数的平方根，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
10．已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为．则当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为（ ）
A．B．C．D．
12．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为（ ）度时，．（ ）
A．B．C．D．
15．如图，关于一次函数与的图象，下列说法正确的有（ ）个．
①，；
②图象，随自变量的增大而减小；
③不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为；
④方程组的解是．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
16．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点，处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，…，若点，点，则的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）
17．已知与是同类项，则 ．
18．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
19．如图①，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示，当点运动秒时，的长是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）
20．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查，两家公司分别随机抽取名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．

将以上信息整理分析如下：
(1)填空：______；______；______．
(2)某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
22．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．已知如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为．

(1)请根据点，的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，判断的形状，并说明理由．
(2)如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于另一点，连接，，则与的关系为____________，点的坐标为______．
(3)已知轴上有一藏宝地点，到点和点的距离之和最短，求点的坐标．
24．我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程与哥哥跑步的时间之间的函数图象如图．
(1)哥哥的速度是______，哥哥让小明先跑了______米，小明后来的速度为______．
(2)哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？
(3)求哥哥几秒时，两人相距10米？
25．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为．
(1)无理数的“美好区间”是______；
(2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数，，满足如下关系式：
，求的算术平方根的“美好区间”．
26．已知：直线与、轴分别交于、两点，点为直线上一点，另一条直线过点．
(1)求点的坐标和的值．
(2)若点是直线与轴的交点，动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴正方向移动，设的运动时间为秒，是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值．
(3)若直线与、可以围成三角形，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题主要考查了比较实数的大小，根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较即可，熟练掌握任意两个实数比较大小的方法是解题的关键．
【详解】根据题意可得：
，
∴最小的数是，
故选：．
2．D
【详解】选项A.92+122=225=152，
选项B.402+92=1681=412，
选项C.72+242=625=252，
选项D.52+42≠62，
根据勾股定理的逆定理可知，只有选项D不能够成直角三角形．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：由图可得小手盖住的点在第四象限，
则坐标可能为，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：不是同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B
5．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解．把代入，即可求解．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故选：C
6．B
【分析】本题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，根据题意进行证明求解即可．
【详解】解：证明：延长交于点，
则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又，
∴，故（内错角相等，两直线平行）．
∴四个选项中只有B选项正确，符合题意，
故选B．
7．B
【分析】根据统计图中的数据结合中位数和众数的定义，确定a的值即可．
【详解】解：由条形统计图可知，前三次的中位数是8
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数
∴a=8．
故答案为B．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数的定义，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据真命题，数轴与实数的关系，关于轴对称的点坐标的特征，三角形外角的性质，勾股定理进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，数轴上的点和实数是一一对应的；（1）正确，故符合要求；
若点，则关于轴对称点的坐标为；（2）正确，故符合要求；
三角形的一个外角大于任何一个与其不相邻的内角；（3）正确，故符合要求；
中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或；（4）错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了真命题，数轴与实数的关系，关于轴对称的点坐标的特征，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握真命题，数轴与实数的关系，关于轴对称的点坐标的特征，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质．
一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案．
【详解】解：和是同一个数的平方根，
有或，
解得或．
故选：．
10．A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握利用一次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键．
由题意知，随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可．
【详解】解：∵，，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式，再令，求出x．
【详解】∵秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系
∴设一次函数表达式为，
∵若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为
∴当时，；当时，；
∴，解得
∴一次函数表达式为，
当时，
解得，
即当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多，
依题意，得，
解得：，
故桌子的高度是．
故选：B．
13．A
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，由已知，且，
，
，
，
，是的中点，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故选：A．
14．C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
由，都与地面平行，可得，则，，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，都与地面平行，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
15．D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程，数形结合思想，根据图象逐个分析即可．
【详解】由图可知，随x的增大而增大，
∴，
∵过二四象限，
∴，
∴图象，随自变量的增大而减小；
故①②正确；
∵一次函数
∴不论为何值，当时，，
即不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为，
故③正确；
∵一次函数与的图象交点为，
∴方程组的解是，
故④正确，
综上所述，说法正确的是①②③④．
故选：D．
16．C
【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，，即可得每偶数之间的B相个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】解：由图象可知点在第一象限，
∵，
∴，
∴，
当时，．
故选：C．
17．2
【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义列出方程组计算即可；熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：
解得：
故答案为：2．
18． 减少
【分析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识，解题的关键是理解题意，找出图形中各角之间的关系．延长，交于点，根据三角形的内角和求出，从而得到，根据内外角关系得到，求出，由，可得，求出即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点，
，
，
，
，，
，
而图中，
应减少，
故答案为：减少，．
19．
【分析】由题意知，当运动到时，最长，，由图象可知，当时，，即正方形边长为4，当时，，由，可知是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴是等腰直角三角形，
由题意知，当运动到时，最长，，
由图象可知，当时，，
∴，
当时，，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数图象，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
20．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查二次根式的运算和零指数幂的运算，解题关键掌握运算法则．
（）先进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（）根据平方差和完全平方公式进行计算即可；
（）先进行算术平方根，立方根和化简绝对值运算，再进行加减即可；
（）先由二次根式的除法和零指数幂的运算法则计算，再进行加减即可；
【详解】（1）原式，
；
（2）原式，
；
（3）原式，
；
（4）原式，
，
．
21．(1)，，
(2)选甲公司，理由见解析
【分析】（1）由扇形统计图可知，收入为9千元的占比为，则甲公司收入的平均数为，众数，由条形统计图可知，乙公司收入的中位数，计算求解即可；
（2）根据中位数，方差进行决策即可．
【详解】（1）解：由扇形统计图可知，收入为9千元的占比为，
∴甲公司收入的平均数为（千元）
众数，
由条形统计图可知，乙公司收入的中位数（千元），
故答案为：，，；
（2）解：建议选甲公司，理由如下：
∵甲和乙的平均数相同，但甲的中位数和众数均高于乙，甲方差小于乙方差，甲的收入稳定，
∴建议选甲公司．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差等知识．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质：
（1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证；
（2）根据，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．(1)图见解析，直角三角形，理由见解析
(2)，与关于所在直线对称（或成轴对称），
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理与逆定理，一次函数的综合应用．
（1）根据点A和点B的坐标可建立坐标系，再根据勾股定理的逆定理判断的形状；
（2）由作图可知，，，证明，得到，可得，与关于所在直线对称（或成轴对称），根据坐标系可得D点坐标；
（3）点关于轴的对称点为设表达式为：，利用待定系数法得解析式，求得直线与y轴交点的坐标即可．
【详解】（1）解：建系如图

∵，，
∴
∴是直角三角形；
（2）解：由作图可得，，，
又∵是公共边，
∴，
∴，
∵，
∴，与关于所在直线对称（或成轴对称），
根据坐标系可得；
（3）解：点关于轴的对称点为
设表达式为：，
代入和得
解得，，
∴，
令得，
∴．
24．(1)8，14，3
(2)7秒追上小明
(3)哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米
【分析】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键．
（1）观察图象结合题意判断即可，根据“速度路程时间”即可求出哥哥的速度；同理求出小明的速度；
（2）根据“速度路程时间”列方程解答即可；
（3）列方程解答即可．
【详解】（1）解：由函数图象得：哥哥让小明先跑了14米，
哥哥的速度：，
小明开始的速度：，
小明后来的速度：，
故答案为：8，14，3；
（2）解：设哥哥秒追上小明，
由，
解得：，
答：7秒追上小明；
（3）解：相遇前距离10米
由，
解得，
相遇后距离10米，由，
解得，
答：哥哥跑2秒或9秒时，两人相距10米．
25．(1)
(2)37或161
(3)
【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件：
（1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”；
（2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值；
（3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
∴无理数的“美好区间”是，
故答案为：
（2）∵为“美好区间”
∴，为连续的整数
又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解
∴是一个平方数
又∵
∴满足题意的，的值为或
当时，
∴
∴，
当时，，
∴，
∴，
综上所述：的值为37或161．
（3）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
两式相加得
∴
∴的算术平方根为
∵
的算术平方根的美好区间为．
26．(1)，
(2)存在，或或2
(3)且且
【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质：
（1）把代入求出，再把代入得；
（2）求出，设，表示出，再根据列方程求出的值即可；
（3）当以及点D在直线上直线与、不可以围成三角形，由此可得出的取值范围．
【详解】（1）∵点为直线上一点，
∴，
解得，，
∴；
∵直线过点，
∴，
解得，；
（2）存在，的值为或或2
由（1）得，，
∴直线，
当时，，
解得，，
∴点C的坐标为，
对于，当时，，
解得，，
∴
设
又，
∴，
①当时，则，
∴，
解得，，（不合题意 ，舍去）
∴，
②当时，则，
∴，
解得，，
综上，的值为或或2
（3）当以及点D在直线上直线与、不可以围成三角形，
当时，；
当时，；
当点D在直线上时，，
解得，；
因此，当且且时，直线与、可以围成三角形，
故的取值范围是且且．
已知：如图，．

求证：．
证明：延长交 ※ 于点，
则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又，
∴ ▲ ，故（ @ 相等，两直线平行）．
平均数
中位数
众数
方差
甲公司
乙公司
7
5