【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第20讲 一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究-【专题突破】（解析版）

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第20讲 一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究类型一 一次函数与等腰直角三角形【知识点睛】当一个直角（或者一个等腰直角三角形）放在一条直线上或平面直角坐标系中时，常通过构造“K型图”全等来转化等量线段。【类题训练】1．已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（　　）A．（0，0） B．（，﹣） C．（1，﹣1） D．（﹣，）【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短得到AB垂直于直线y＝﹣x时AB最短，此时过B作BD垂直于x轴，由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得出∠AOB为45°，再由∠ABO为直角，得到三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到D为OA的中点，BD为斜边OA上的中线，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到BD为OA的一半，由A的坐标求出OA的长，得出BD的长，而三角形BOD也为等腰直角三角形，得到OD＝BD，求出OD的长，最后由B在第四象限，即可确定出B的坐标．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：当AB⊥OB时，AB最短，此时过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得到∠AOB＝45°，∵A（，0），即OA＝，∠ABO＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴OD＝AD，即BD为Rt△AOB斜边上的中线，∴BD＝OA＝，又∵∠BOD＝45°，∠BDO＝90°，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝BD＝，∵B在第四象限，∴B的坐标为（，﹣）．故选：B．2．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴DN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，即方程组得：，即Q的坐标是（，）．故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（　　）A．（7，0） B．（8，0） C．（9，0） D．（10，0）【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，证明△PDB≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出DP＝BF，BD＝CF＝3，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案．【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，∵B（3，﹣3），A（6，0），∴OD＝DA＝BD＝3，∵△PBC为等腰直角三角形，∴PB＝BC，∠PBC＝90°，∵∠PBD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠PBD＝∠BCF，∴△PDB≌△BFC（AAS），∴DP＝BF，BD＝CF＝3，∴CE＝EF+CF＝6，∵OC＝10，∴EO＝＝＝8，∴DF＝8，∴BF＝5，∴DP＝5，∴OP＝DP+OD＝8，∴P（8，0）．故选：B．4．如图，平面直角坐标系中，点A在直线y＝x+上，点C在直线y＝﹣x+4上，点A，C都在第一象限内，点B，D在x轴上，若△AOB是等边三角形，△BCD是以BD为底边的等腰直角三角形，则点D的坐标为 　 　．【分析】设OG＝x，作AG⊥OB根据等边三角形的性质即可求出GA，将A的坐标代入y＝x+即可求出A；作CH⊥BD，设BH＝m，根据等腰直角三角形的性质求出CH，然后将C的横纵坐标代入直线y＝﹣x+4，即可求出m，从而确定D点坐标．【解答】解：作AG⊥OB，CH⊥BD，垂足分别为G，H，如下图所示：设OG＝x，∵△OAB是等边三角形，∴G为OB的中点，∠AOB＝60°，∴OB＝OA＝2x，AG＝，∵A点在直线y＝x+上，∴＝x+，解得x＝，∴OB＝2OG＝3，设BH＝m，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBH＝45°，∴BH＝CH＝DH，∴C（3+m，m），∵点C在直线y＝﹣x+4上，∴m＝﹣（m+3）+4，解得m＝，∴BD＝2BH＝，∴OD＝OB+BD＝3+＝，∴D（，0）．故答案为：（，0）．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．（1）求直线l2的函数解析式；（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论；（2）根据勾股定理得到OA＝＝5，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，根据折叠的性质得到∠OAB＝∠CAB，于是得到结论；（3）过C作CM⊥OB于M，求得CM＝OD＝4，得到C（4，﹣2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵直线l₁：y＝x与直线l₂：y＝kx+b相交于点A（a，3），∴A（4，3），∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），∴y＝kx﹣5，把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，∴k＝2，∴直线l₂的解析式为y＝2x﹣5；（2）∵OA＝＝5，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，∴∠OAB＝∠CAB，∴∠OBA＝∠CAB，∴AC∥OB；（3）存在．理由如下：如图，过C作CM⊥OB于M，则CM＝OD＝4，∵BC＝OB＝5，∴BM＝3，∴OM＝2，∴C（4，﹣2），过P1作P1N⊥y轴于N，∵△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP1＝90°，∴∠MCB＝∠NBP1，∵BC＝BP1，∴△BCM≌△P1BN（AAS），∴BN＝CM＝4，∴P1（3，﹣9）；同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．类型二 一次函数与最值最值常结合模型——将军饮马；“两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接；“两定两动型”将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接；1．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），∴方程组的解为，故①正确，符合题意；②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，∴直线l1：y＝2x+4，又∵直线l2：y＝﹣x+m，∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，∴△BCD为直角三角形，故②正确，符合题意；③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，∴D（0，1），∴BD＝4﹣1＝3，在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴AO＝2，∴S△ABD＝×3×2＝3，故③错误，不符合题意；④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故④正确，符合题意；故选：B．2．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为　 　．【分析】根据直线y＝x+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝2，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．【解答】解：如图，连接CH，∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∴OB＝4，OA＝3，∵C是OB的中点，∴BC＝OC＝2，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四边形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝2，∵PH∥BC，∴四边形PBCH是平行四边形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴Q（﹣6，﹣4），又∵点C（0，2），根据勾股定理可得CQ＝＝6，此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，即BP+PH+HQ的最小值为6+2；故答案为：6+2．3．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是　 　．【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．类型三 一次函数与等腰三角形存在性点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式“两定一动型”等腰三角形——即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成等腰三角形；解决办法：“两圆一线”“两圆”：以两个顶点为圆心，两定点组成线段长为半径作圆，圆与目标直线的交点即为所求的动点；“一线”：两定点组成线段的中垂线与目标直线的交点即为所求的动点；（求解常需要结合勾股定理）1．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于　 　．【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．【解答】解：∵直线与x、y轴交于B、C两点，∴OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，∴∠CA1O＝90°．在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故答案为：．2．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为　 　．【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．3．如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标．【分析】（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，即可求解；（2）由△ABP的面积＝S△HBP+S△HBA，即可求解；（3）求出线段AP、AQ、PQ的长度，再分AP＝PQ、AP＝AQ两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）设直线AP交y轴于点H，设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），则△ABP的面积＝S△HBP+S△HBA＝×AC×BH＝×（﹣2k）＝，解得：k＝﹣，∴点P的坐标为（2，﹣）；（3）由（2）知，点P的坐标为（2，﹣），点A（﹣2，0），设点Q（2，t），由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（）2＝16+，同理可得：PQ2＝（t+）2，AQ2＝16+t2，当AP＝PQ时，即16+＝（t+）2，解得t＝或，故点Q的坐标为（2，）或（2，）；当AP＝AQ时，即16+＝16+t2，解得t＝（负值已舍去），故点Q的坐标为（2，）；综上，点Q的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．类型四 一次函数与全等三角形1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　．【分析】由折叠的性质得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD＝CD，AB＝AC，由一次函数解析式求出A与B坐标，确定出OA与OB的长，由BD+OD＝OB，OC+OA＝AC，在直角三角形COD中，设CD＝x，表示出OD，利用勾股定理求出x的值，即可确定出C与D坐标．【解答】解：由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝5，∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；在Rt△COD中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，解得：x＝，∴OD＝，即D（0，）．故答案为：（﹣1，0）；（0，）2．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为　 　．【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．【解答】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，∵AF平分∠DFE，∴DA＝AG＝2，在RT△ADF和RT△AGF中，，∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），∴DF＝FG，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝，∴GE＝＝1，∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，∴点F（，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；②当点F与点C重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE，∴F（2，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．故答案为：1或3．3．如图，直线y＝kx+6交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且OA＝3OB，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为（6，0），直线PC交y轴点于D，O是原点．（1）求k的值；（2）直线AB上是否存在一点P，使得△OCD与△AOB是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在射线BA上运动时，连接OP，是否存在点P，使得△OPC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在y＝kx+6中，可得A（0，6），OA＝6，又OA＝3OB，即知OB＝2，B（﹣2，0），用待定系数法可得k的值是3；（2）由OC＝6＝OA，∠COD＝90°＝∠AOB，可知△OCD与△AOB全等，只需OD＝OB＝2，即D（0，2），用待定系数法得直线CD解析式为y＝﹣x+2，解即可得点P的坐标为（﹣，）；（3）设P（t，3t+6），且t≥﹣2，有OP2＝t2+（3t+6）2，OC2＝36，CP2＝（t﹣6）2+（3t+6）2，分三种情况列方程即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝kx+6中，令x＝0得y＝6，∴A（0，6），OA＝6，∵OA＝3OB，∴OB＝2，B（﹣2，0），把B（﹣2，0）代入y＝kx+6得：0＝﹣2k+6，解得k＝3；∴k的值是3；（2）存在一点P，使得△OCD与△AOB是全等的，理由如下：∵C（6，0），∴OC＝6＝OA，∵∠COD＝90°＝∠AOB，∴△OCD与△AOB全等，只需OD＝OB＝2，∴D（0，2），设直线CD解析式为y＝mx+2，把C（6，0）代入得：0＝6m+2，解得m＝﹣，∴直线CD解析式为y＝﹣x+2，由（1）知k＝3，∴直线AB解析式为y＝3x+6，由得，∴点P的坐标为（﹣，）；（3）存在点P，使得△OPC为等腰三角形，理由如下：设P（t，3t+6），且t≥﹣2，∵O（0，0），C（6，0），∴OP2＝t2+（3t+6）2，OC2＝36，CP2＝（t﹣6）2+（3t+6）2，①当OP＝OC时，t2+（3t+6）2＝36，解得t＝0或t＝﹣3.6（舍去），∴P（0，6）；②当OP＝CP时，t2+（3t+6）2＝（t﹣6）2+（3t+6）2，解得t＝3，∴P（3，15）；③当OC＝CP时，36＝（t﹣6）2+（3t+6）2，方程无实数解；综上所述，P的坐标为（0，6）或（3，15）．综合练习1．已知：如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）A． B．6 C． D．【分析】由题意由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0）设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB＝∠PAB＝45°，即P2A⊥OA；PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P2＝＝2．故选：A．2．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上．OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0）．过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．（1）点G的坐标为 　 　；（2）求折痕OE所在直线的表达式；（3）若直线l：y＝mx+n平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）根据折叠的性质求出OG，根据勾股定理计算求出GN，得到点G的坐标；（2）设CE＝x，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出OE所在直线的解析式；（3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，OG＝OC＝5，由勾股定理得，GN＝＝＝4，∴点G的坐标为（3，4），故答案为：（3，4）；（2）设CE＝x，则EM＝3﹣x，由折叠的性质可知，EG＝CE＝x，∵GN＝4，∴GM＝5﹣4＝1，在Rt△EMG中，EG2＝EM2+MG2，即x2＝（3﹣x）2+12，解得，x＝，∴点E的坐标为（，5），设OE所在直线的解析式为：y＝kx，则k＝5，解得，k＝3，∴OE所在直线的解析式为：y＝3x；（3）∵直线l：y＝mx+n平行于直线OE，∴m＝3，即直线l的解析式为y＝3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5＝3×3+n，解得，n＝﹣4，当直线l经过点A（5，0）时，0＝3×5+n，解得，n＝﹣15，∴直线l与长方形ABMN有公共点时，﹣15≤n≤﹣4．3．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）证明直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）因为B是直线y＝x上一点，且B的横坐标为2，代入解析式中，求得B点坐标，再将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中，求得k和b的值；（2）根据勾股定理求出OA、OB、AB的值，利用勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）因为△PAB为等腰三角形，且A，B两点坐标已知，P是x轴上一动点，故要分三类讨论，即BA＝BP，AP＝AB，PA＝PB，画出图形，求解出P点坐标．【解答】解：（1）令x＝2，则y＝x＝1，∴B的坐标为（2，1），将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得，，解得，∴B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；（2）证明：∵点A（0，5），B（2，1），∴OA＝5，OB＝＝，AB＝＝2，∵52＝（）2+（22），∴OA2＝OB2+AB2，∴∠ABO＝90°，∴直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；（3）∵△PAB为等腰三角形，∴可以分三类讨论，①当BA＝BP时，如图，此时P有两个位置，分别记为P和P′，由（2）可得，AB＝2，∴PB＝2，设P（p，0），∴PB＝＝2，解得：p＝2+或p＝2﹣，∴P（2+，0）或P（2﹣，0）；②当AP＝AB时，如图，∵OA⊥x轴，OA＝5，AB＝2，∴点A到x轴的距离为5，OA＞AB，∴此时在x轴上不存在点P使△PAB为等腰三角形；③当PA＝PB时，如图，设P（m，0），在Rt△POA中，PA2＝OA2+OP2＝52+m2＝25+m2，同理，PB2＝12+（2﹣m）2＝m2﹣4m+5，∵PA＝PB，∴25+m2＝m2﹣4m+5，∴m＝﹣5，∴P（﹣5，0），∴P（2+，0）或P（2﹣，0）或（﹣5，0）．4．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；（2）在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　 　 ；（3）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，请你直接写出点D的坐标．【分析】（1）由直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0），可求出b，从而得出点B的坐标，再利用待定系数法求BC的函数解析式即可；（2）分PB＝PC，CB＝CP，BC＝BP三种情况，分别进行计算即可；（3）利用全等变换，分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑，根据∠BAO＝∠ABO＝45°，从而得出点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0），∴0＝﹣3+b，∴b＝3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），即OB＝3，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝1，∵点C在x轴正半轴，∴C（1，0），设直线BC的表达式为y＝kx+c（k≠0），将B（0，3），C（1，0）代入得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝﹣3x+3；（2）①如图所示，当PB＝PC时，∵PB＝PC，设OP＝x，则PB＝OC＝3﹣x，在Rt△POC中，∠POC＝90°，∴OP2+OC2＝PC2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴点P的坐标为（0，）．②当BC＝PC时如图所示，∵BC＝PC，∴OB＝OP，∴P（0，﹣3），当BC＝BP时，由B（0，3），C（0，1），∴BC＝，∴BP＝，∴P（0，3+）或（0，3﹣），故答案为：（0，）或（0，﹣3）或（0，3+）或（0，3﹣）；（3）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑，如图，①当△BAD≌△ABC，当点D在AB上方时，∵OA＝OB＝3，∴∠BAC＝45°，∵△BAD≌△ABC，∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝4，∴D（﹣4，3）；当点D在AB下方时，则BD＝AC＝4，∴D（0，﹣1）；②当∠ABD≌△ABC时，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝4，∴∠DAC＝90°，∴D（﹣3，4），综上所述，点D的坐标为（﹣4，3）或（﹣3，4）或（0，﹣1）．