河北省邯郸市五校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市五校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线与直线平行,则实数( )
A.B.1C.D.3
2．数列,7,,13,…的一个通项公式为( )
A.B.
C.D.
3．已知直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,若,则实数( )
A.B.C.1D.2
4．一条渐近线方程为,且经过点的双曲线的标准方程是( )
A.B.C.D.
5．设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.B.C.D.
6．在四面体ABCD中,点E满足,F为BE的中点,且,则实数( )
A.B.C.D.
7．已知点P在椭圆上,,是椭圆的左,右焦点,若,且的面积为,则a的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知圆和点,,若点M在圆C上,且,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
10．已知抛物线的焦点为F,为上一点,且,直线AF交C于另一点B,记坐标原点为O,则( )
A.B.C.D.
11．如图,四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点,则( )
A.B.异面直线AQ,PF所成角为
C.点P到直线DF的距离为D.的面积是
12．某高中通过甲,乙两家餐厅给1920名学生提供午餐,通过调查发现:开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐,剩余的学生到乙餐厅就餐,从第二天起,在前一天选择甲餐厅就餐的学生中,次日会有的学生继续选择甲餐厅,在前一天选择乙餐厅就餐的学生中,次日会有的学生选择甲餐厅.设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为,则( )
A.
B.是等比数列
C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D.开学后第一个星期(7天)中在甲餐厅就过餐的有5750人次
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为,若,则______.
14．若P为圆上任意一点,点,则的取值范围为______.
15．已知,,,,则点D到平面ABC的距离为______.
16．已知,分别是双曲线:的上,下焦点,经过点且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P,且P在第四象限,四边形为平行四边形,若C的离心率的取值范围是,则直线的倾斜角的取值范围是______.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的最小值及取得最小值时n的值.
18．已知半径为4的圆C与直线相切,圆心C在y轴的负半轴上.
（1）求圆C的方程;
（2）已知直线:与圆C相交于A,B两点,且的面积为8,求直线的方程.
19．已知双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合.
（1）求抛物线E的标准方程;
（2）若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M,N两点,求线段MN的长度.
20．如图,在直三棱柱中,,,D,E,F分别为,,AB的中点.
（1）证明:平面;
（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.
21．已知数列的首项,且满足.
（1）证明:是等比数列;
（2）数列满足,,记,求数列的前n项和.
22．已知椭圆过点,离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知C的下顶点为A,不过A的直线与C交于点E,F,线段EF的中点为G,若,试问直线l是否经过定点?若经过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由两直线平行,得,解得.
当时,直线与直线平行,故.
故选B.
2．答案：B
解析：由符号来看,奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式中应该是,数值4,7,10,13,…满足,所以通项公式可以是.
故选B.
3．答案：C
解析：当时,,所以,解得,.
故选C.
4．答案：A
解析：由题意设双曲线的方程为,
将点代入双曲线方程得,
所以双曲线的方程为,即.
故选A.
5．答案：A
解析：在等差数列中,,,,成等差数列,即,
设,则,所以,解得,所以.
故选A.
6．答案：D
解析：由F为BE的中点,得,
又,所以,
由,得,即,所以.
故选D.
7．答案：B
解析：不妨设,,,则①,②,②①,得,
所以,因为,所以,所以,
由椭圆的定义,得(当且仅当时等号成立),所以.
故选B.
8．答案：C
解析：设,由,得,
即点M在圆上,圆心为,半径.
圆C的圆心为,半径,又点M在圆C上,故圆C与圆N有公共点,
所以,解得,
即m的取值范围是.
故选C.
9．答案：BD
解析：当截距为0时,l过点和原点,所以l的方程为,即;
当截距不为0时,设l的方程为,由l过点,得,解得,
所以l的方程为.
故选BD.
10．答案：ACD
解析：依题意,抛物线的准线为,
因为为C上一点,且,则,解得,故A正确;
抛物线,焦点为,因为A为C上一点,则,
所以,所以,故B错误;
直线AF的方程为,代入,得,
整理得,解得或,
因为B为C上一点且在x轴下方,所以,所以,所以,故C正确;
,故D正确.
故选ACD.
11．答案：ACD
解析：由题意知AB,AD,AF两两垂直,以A为坐标原点,AD,AB,AF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,,
又P,Q分别是线段AE,BD的中点,所以,,
所以,,
又PQ,DF不共线,所以,故A正确;
,,设异面直线AQ,PF所成角为,则,
又,所以,即异面直线AQ,PF所成角为,故B错误;
由,,得,
所以点P到直线DF的距离为,故C正确;
因为,所以Q到DF的距离即为P到DF的距离,
所以的面积.故D正确.
故选ACD.
12．答案：ABD
解析：由题意,得,故A正确;,
又,所以,是以为首项,为公比的等比数列,故B正确;
,即,所以,故C错误;
,又有1920名学生,所以开学后第一个星期(7天)中在甲餐厅就过餐的有人次,故D正确.
故选ABD.
13．答案：3
解析：,又,所以.
14．答案：
解析：圆:化为标准方程,得,
所以的取值范围为.
15．答案：
解析：,,,
设平面ABC的法向量,则,即,
令,则,,所以平面ABC的一个法向量为,
所以点D到平面ABC的距离.
16．答案：
解析：由双曲线的对称性可知Q也在双曲线的渐近线上,且Q在第二象限,由轴,可知轴,所以可设,又Q在渐近线上,所以,所以,因为C的离心率的取值范围是,所以,,又,所以.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为,
由,,得,,解得,,
所以.
（2）方法一:由知是递增数列,
当时,;当时,.
所以,
所以当时,最小,最小值为.
方法二:,
又,所以当时,最小,最小值为.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知可设圆心,则,解得或（舍）,
所以圆C的方程为.
（2）设圆心C到直线的距离为d,则,,
即,解得,
又,所以,解得,
所以直线的方程为或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）双曲线中,,,
所以,解得,所以双曲线C的右焦点为.
所以可设抛物线E的标准方程为,
其焦点为,所以,即,
所以抛物线E的标准方程为.
（2）由,得双曲线C的右顶点为,因为直线l过点且斜率为2,
所以直线l的方程为,
设,,联立直线l与抛物线E的方程,
消去y,得,
所以,,
所以.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AC的中点G,连接FG,,
因为F,G分别为AB,AC的中点,所以,,
又E为的中点,,,所以,,
所以四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,所以平面.
（2）在直三棱柱中,平面ABC,又BA,平面ABC,
所以,,又,故以B为原点,BA,BC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,
所以,,.
设平面DEF的法向量为,则,
令,得,,所以平面DEF的一个法向量为.
设直线CE与平面DEF所成的角为,
则,
即直线CE与平面DEF所成角的正弦值为.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:由题意,得,所以,
又,所以,所以,
所以是首项为3,公比为3的等比数列.
（2）由（1）,得,所以.
由,得,
所以,,…,
当时,;
当时,,满足上式,所以.
,
所以,①
,②
①-②,得,
所以.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）依题意,得,又,解得(负值舍去)
所以椭圆方程为.
（2）因为,,
所以,,
又G为线段EF的中点,所以,因此.
根据题意可知直线l的斜率一定存在,设l的方程为,,,
联立消去y,
得,,
根据韦达定理可得,,
因为,所以,
所以,
整理得,解得或.
又直线l不经过点,所以舍去,
于是直线l的方程为,恒过定点,该点在椭圆C内,满足,