02函数与导数-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份02函数与导数-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·上海松江·高三统考期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知椭圆及以下3个函数:（1）；（2）;（3），其中函数图像能等分该椭圆面积的函数是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）
4．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）函数的反函数为的图象与直线有且仅有一个交点，则与的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
5．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2015上·上海奉贤·高三统考期末）定义：，其中、.对于任意实数、、，给出如下结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2017上·上海松江·高三统考期末）若存在使成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ．
10．（2024上·上海静安·高三统考期末）记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
11．（2024上·上海静安·高三统考期末）不等式的解集为 .
12．（2024上·上海静安·高三统考期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）．
①； ②； ③ ； ④ ．
13．（2023上·上海虹口·高三统考期末）函数的定义域为 ．
14．（2023上·上海虹口·高三统考期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ．
15．（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ．
16．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为
三、解答题
17．（2024上·上海静安·高三统考期末）如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
18．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
(2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
19．（2023上·上海松江·高三统考期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：
第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米.
(1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）；
(2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值.
月份
1
2
3
4
5
9
10
12
当月燃气用量（立方米）
56
80
66
58
60
53
55
63
当月燃气费（元）
168
240
198
174
183
174.9
186
264.6
参考答案：
1．C
【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据对数函数的单调性解集合B，结合补集的定义和运算即可求解.
【详解】由，
得，
所以.
故选：C
2．C
【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.
【详解】由图象可知，在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
3．B
【分析】利用椭圆的对称性以及函数的奇偶性进行判断.
【详解】对于函数，其定义域为，且，
所以是奇函数，所以函数能等分该椭圆的面积；
对于函数，其定义域为，且，
所以是奇函数，所以函数能等分该椭圆的面积；
对于函数，其定义域为，且，
所以是偶函数，所以函数不能等分该椭圆的面积；故A，C，D错误.
故选：B.
4．D
【分析】举特例和即可求解.
【详解】不确定，例如，
令，可得，故与有1个交点.
，
令，可得，故或.
对于，可得,
即，
解得或.
对于，可得.
因为且,解得,故（舍去）.
故的根为或或，
故与有3个交点.
故与的交点个数不确定.
故选:D.
5．D
【分析】“切线重合函数”的充分条件是，存在 有 ，据此逐项分析验证即可.
【详解】对于A， 显然是偶函数， ，
当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；
在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”；
对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察 两点处的切线方程， ，
两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，
在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合，
C是“切线重合函数”；
对于D， ，令 ，则 ，
是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
6．D
【分析】利用对数的运算结合新定义可判断①②③的正误.
【详解】对于①，，①对；
对于②，，
，
所以，，②对；
对于③，，③对.
故选：D.
7．B
【分析】先根据等比数列前项和公式求，再利用二项式定理求解，之后根据的范围求极限即可.
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴
，
∴ ，
又 ∵ ，∴
∴ .
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列前项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力.
8．B
【分析】由题意得知，存在使得不等式成立，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】，由题意知，存在使得不等式成立，
则存在使得，构造函数，，
由于函数是增函数，函数为减函数，则函数为增函数，
当时，，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查函数不等式能成立，同时也考查了二阶行列式的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为（，且）的图象过定点A，
令，则，，
所以点A的坐标为.
故答案为：.
10．
【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案.
【详解】由题意知在区间内有解，
即，即在区间内有解，
设，则该函数在上单调递减，在上单调递增，
且，故在上的最大值为，
故，即实数的取值范围是，
故答案为：
11．
【分析】构造函数，利用函数的单调性及的函数值即可解决问题.
【详解】令，易知在区间上单调递增，
又，所以的解集为，
故答案为：.
12．②
【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数性质即可判断.
【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意,
因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数，
根据奇函数的性质，
因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；
因为的定义域为，且，故②满足题意；
因为的定义域为，且，故③不满足题意.
故答案为：②.
13．
【分析】根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以定义域为，
故答案为：.
14．
【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可.
【详解】当时，方程可化为，即，
则或（舍）；
当时，方程可化为；
要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根，
则且，解得且，
所以实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
15．
【分析】由函数奇偶性的定义得出为奇函数，再由函数单调性的加减法得出在上为增函数，由奇函数性质将不等式化为，即可根据单调性的性质结合定义域列出不等式组，解出答案.
【详解】，
为奇函数，
与在上都为增函数，
在上为增函数，
，则，
则，解得：，
故答案为：.
16．
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可；
（2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案；
（3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论.
【详解】（1）当时，，
当，，时，
，，
则，
，，
，为型函数.
（2）当时，由得，
当，，时，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
则对称轴，
所以在上的最小值为，只要，则，
因为，
所以．
（3）存在，举例1：．
理由如下：当时，符合；
当，，时，
，，
，，
故，
，即，
即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立；
举例2：；
理由如下：当时，，符合，
当，，时，
，，
，
，
即，即是型函数，
且对任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立.
【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可.
18．(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.
(2)
(3)
【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值.
【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数；
（2）根据谷点性质求参数的取值范围；
（3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值.
19．(1)
(2)，，
【分析】（1）根据燃气收费标准求得解析式.
（2）根据表格提供数据以及函数解析式求得.
【详解】（1）依题意，函数解析式为：
（2）解法一：
由一月份数据可得：，
通过计算前5个月用量：，
前5个月燃气总费用：，
由（1）中函数解析式，计算可得：，
所以，
又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同，
所以12月份为第三档，.
解法二：
1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同．
所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，
则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．
从而得到，.