04平面向量-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份04平面向量-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·上海静安·高三统考期末）教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“ （其中）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（ ）
① 向量坐标的定义；
② 向量数量积的定义；
③ 向量数量积的交换律；
④ 向量数量积对数乘的结合律；
⑤ 向量数量积对加法的分配律．
A．①③④B．②④⑤
C．①②③⑤D．①②③④⑤
2．（2019上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）若，且，，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
3．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知平面向量满足：，且，则的最大值是（ ）
A．9B．10C．12D．14
4．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
5．（2015上·上海黄浦·高三统考期末）已知向量,则下列能使成立的一组向量是( )
A．B．
C．D．
6．（2011上·上海浦东新·高三统考期末）点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心；D．外心、内心、垂心、重心
7．（2018上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2018上·上海·高三上海交大附中校考期末）将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示，设正八角星的中为，并且，，若将点到正八角星个顶点的向量，都写成，，的形式，则的最大值为
A．B．C．D．
9．（2018上·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在中，若，则角的大小为
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知向量与非零向量满足.若“对任意满足前式的，均存在，使得成立”，则的取值范围是 .
11．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知半径为3和5的两个圆和内切于点，点分别在两个圆和上，则的范围是
12．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
13．（2023上·上海虹口·高三统考期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则 ．
14．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知向量，，则
15．（2018上·上海松江·高三统考期末）已知向量是平面内的一组基底，O为内的一定点，对于内任意点P，当时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标，若点A､B的广义坐标分别为，有以下四个命题：
①线段AB中点的广义坐标为
②A，B两点间的距离为
③向量平行于向量的充要条件是：
④向量垂直于向量的的充要条件是：
其中正确命题为 (填写序号).
16．（2018上·上海松江·高三统考期末）已知，且，则与夹角为 .
三、解答题
17．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
18．（2019上·上海黄浦·高三统考期末）已知椭圆：．
（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；
（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中心，为上一点(非的顶点)，过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．
19．（2018上·上海松江·高三统考期末）已知向量，.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】结合教材即可判断.
【详解】在坐标系中，是轴，轴上的单位向量，
，
则，故，
.
则在推导过程中，运用了向量坐标的定义； 向量数量积的定义； 向量数量积的交换律；向量数量积对数乘的结合律；向量数量积对加法的分配律.
故选：D
2．D
【详解】
如图所示：，，，
∵，∴点C在劣弧AB上运动，
表示C、D两点间的距离．
的最大值是，最小值为.
故选D
3．C
【分析】设，且，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果.
【详解】设，且，如图所示：
则，且等号可以取到.
故选：C.

【点睛】本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题.
4．B
【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令， .为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及平行线段，比例关系，求得的最大值.
【详解】根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:
以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大，
此时，，，所以，
，即此时.
即的最大值为
故选:B
【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
5．C
【分析】根据平面向量基本定理，只要不共线即可．
【详解】A中是零向量，与任何向量共线，B中，，D中，，只有C中不共线，根据平面向量基本定理，存在使得．
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解题基础．
6．C
【分析】根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出点在中的特殊位置，即可得到答案.
【详解】（1）显然得出为的重心；
（2），同理，所以为的垂心；
（3）OA,OB分别是的角平分线，所以为的内心；
（4）（M是AB中点）同理（N是BC中点），所以为的外心.
故选：.
【点睛】本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置"特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握，是中档题.
7．B
【分析】对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解.
【详解】由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则，
则，
即，，
化简得：，令，
因为，，，先增大后减小，
所以的最小值为较小值，
即的最小值为，
所以的最小值为1.
故选：B
【点睛】此题考查通过向量线性关系求参数取值范围，此题常见处理办法可以平方处理然后三角换元，可以建立直角坐标系用坐标求解，还可根据等和线定理数形结合求解.
8．C
【分析】以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，根据平面向量加法的平行四边形法则求出的最大值即可．
【详解】以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设圆的半径为，则，过作平行于交轴于点，
则为等腰直角三角形，
，
，此时，
同理，，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时.
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量加法的平行四边形法则和平面向量基本定理，属于常考题型.
9．D
【分析】由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.
【详解】，，
，由正弦定理边角互化思想得，
，，同理得，
，，则，解得，
中至少有两个锐角，且，，所以，，
，因此，，故选D.
【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
10．
【分析】先对条件作几何解释，再对a分类讨论即可.
【详解】如图：
设（），向量 ，过B点作垂直于x轴的垂线，垂足为D，
则有 ， ，依题意， ，
所以点B的运动范围总在直线 与直线 之间，
设 ，则 ， ，由 得 ，
，下面对a分类讨论：
若 ，则 ，满足条件；
若 ，则有 ，是长轴在x轴短轴在y轴上的椭圆，
，解得 ， ；
若 ，则有 ，是实轴在x轴虚轴在y轴上的双曲线，
显然当 时， ，不满足题意；
故答案为： .
11．
【分析】不妨设切点，，，则可得，即可结合三角恒等变换化简求的范围.
【详解】不妨设切点，，，
因为点分别在两个圆和，
所以设，
所以
，
其中.
令，则，
所以，
且，
所以.
故答案为：
12．
【分析】根据题意，求得，结合投影向量公式，求得，即可求解.
【详解】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
13．3
【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.
【详解】由，得向量、、分别看作是以为起点，
以为终点的向量，且是边长为2的正三角形，为正的中心，

由对任意的，均有，得向量、、是以为起点，
各边中点为终点的向量，则，
所以.
故答案为：3
【点睛】思路点睛：涉及向量的模探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.
14．0
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
故答案为：0.
15．①③
【分析】利用中点坐标公式可判断①；
利用平面两点间的距离公式可判断②；
利用向量平行的充要条件可判断③；
利用向量垂直的充要条件可判断④.
【详解】由题意知，
根据中点公式知①正确；
只有平面直角坐标中两点间的距离公式②才正确，而题意未必是平面直角坐标系，故②错误；
由向量平行的充要条件得③正确；
与垂直的充要条件为，故④错误.
故答案为：①③
16．
【分析】由条件算出，然后可求出答案.
【详解】因为，所以，因为，所以
所以，
因为，所以与夹角为
故答案为：
17．（1）；（2）是向量组，，，…，的“向量”，理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据“向量”的定义，列不等式，求的取值范围；（2）分为奇数和偶数两种情况说明是向量组，，，…，的“向量”；（3）首先由､､均是向量组，，的“向量”，变形得到，设由由条件列式，变形为，转化为求的最小值.
【详解】解：（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为.
18．（1）抛物线的标准方程为和．
（2）或．
（3）见解析
【分析】（1）根据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出；
（2）按哪个角为直角进行分类，结合数量积为0，计算得到M的坐标.
（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，设直线BQ的方程为x＝my﹣3，直线OP的方程为x＝my，分别于椭圆的方程联立，求出点Q，N，P的坐标，再根据向量的运算即可证明.
【详解】(1) 椭圆的焦点坐标为和，抛物线的标准方程为和．
(2)设点的坐标为，的上顶点的坐标为，右焦点的坐标为．
当为直角顶点时，点的坐标为；
当为直角顶点时，，，由，解得，点的坐标为．
因此，点的坐标为或．
(3)设直线的方程为()，直线的方程为．
于是点，的坐标，为方程组的实数解，
解得点的坐标为．
点，的坐标，为方程组的实数解，解得点的坐标为．
又点的坐标为．
于是，，，
，
，
即，得证．
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，向量的运算，考查计算能力，属于中档题．
19．（1） （2）最小正周期为 ，最大值为
【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解.
（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值．
【详解】解：（1）由得, ，
∴
∴
（2）

∴函数 的最小正周期为
当 时，
∴当，即时，.
【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．