05指数函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份05指数函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知，，对于实数a、b，给出以下命题：
命题①：若，则.
命题②：若，则.
则以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题；②为真命题.B．①为真命题；②为假命题.
C．①为假命题；②为真命题.D．①为假命题；②为假命题.
2．（2021上·上海嘉定·高一统考期末）已知存在实数，使得成立，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
3．（2022上·上海闵行·高一校考期末）已知实数，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·上海松江·高一统考期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末），且使代数式有意义，则下列代数式中最小值为2的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）“”是“指数函数在上是严格减函数”的 （ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
二、填空题
9．（2024上·上海·高一校考期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
10．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 .
11．（2024上·上海虹口·高一统考期末）函数在区间上的最小值是 ．
12．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）函数的定义域为 ．（用区间表示）
13．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知，若对任意的，存在唯一的，使得，则的值为 .
14．（2023上·上海闵行·高一统考期末）若函数，则此函数的最小值为 .
三、解答题
15．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数，其中.
(1)是否存在实数，使函数是奇函数?若存在，请写出证明.
(2)当时，判断在上的单调性并证明.
16．（2024上·上海·高一上海市实验学校校考期末）（1）是定义在正整数集上的函数，并且满足
①当为正整数时，；
②当为非负整数时，.
求的值.
（2）函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质：
①；②；③.
求.
17．（2024上·上海浦东新·高一统考期末）诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增，资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为．
(1)请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？
(2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符，并说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】令，，在R上分别讨论函数的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假.
【详解】令，.
因为，所以是奇函数，
易知幂函数在R上增函数，因此也在R上增函数；
又因为，所以是偶函数，
令，假设任意且，
则
，
由且知，，
所以，
即函数在上单调递增函数，
从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增，在上单调递减，又.
对一命题①：当时，，故，又，所以，
所以，则 ，
即成立，故命题①真命题；
对于命题②：当 ，即时，，，
（i）当时，则，所以，
又，所以，
所以，则，
即成立；
（ii）当时，，
因为也在R上增函数, 在上单调递增,
所以在上单调递增，又，
所以在上，
又当时，，，所以在上恒成立，
故当时，成立；
综上所述，时，均有成立，故命题②真命题.
故选：A.
【点睛】本题关键是将函数拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练应用.
2．A
【分析】利用充分必要条件的定义，结合指数函数与指数幂运算即可得解.
【详解】当时，，
当且时，由指数函数的性质可知，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，取，则不满足题意；
当时，此时为奇数，可得，满足题意；
综上，当时，必有，即充分性成立；
当时，取为偶数，则，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．A
【分析】根据指数函数的单调性、特殊值、差比较法确定正确答案.
【详解】依题意，
A选项，在上递增，所以，所以A选项正确.
B选项，，满足，但，所以B选项错误.
C选项，，其中，但的符号无法确定，所以C选项错误.
D选项，，满足，但，所以D选项错误.
故选：A
4．D
【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】由解析式易得的图象如下图所示，
当时，，令，得或，
因为，且，所以，
所以，
故选：D
5．A
【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案；
【详解】，
根据函数的定义可得.
故选：A.
6．B
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】选项A中，时，，不合题意；
选项B中，，当且仅当时等号成立，满足题意；
选项C中，，当且仅当时等号成立，不满足题意；
选项D中，，当且仅当时等号成立，但此方程无实解，不合题意．
故选：B．
7．B
【分析】由题意函数，为在上一个延拓函数，求出，然后利用偶函数推出函数的解析式．
【详解】解：，
为在上的一个延拓函数，
则当时，，
因为是偶函数
当时，，
综上．
故选：B．
8．A
【分析】根据定义，分充分性和必要性分别判断即可.
【详解】充分性：时，在上是严格减函数成立，故充分性满足；
必要性：由“指数函数在上是严格减函数”可得：，所以不一定成立，故必要性不满足.
故“”是“指数函数在上是严格减函数”的充分非必要条件.
故选：A.
9．
【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解.
【详解】因为在上是严格增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
而，故；
因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，
又，所以，即，
则，且在上恒成立，
令，则，恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即，
综上：.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解.
10．
【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式 要与比较大小，等价于，判断与的大小即可.
【详解】因为，
所以函数的定义域为，
设，
则，
即，
其中，
因为，，
，
，，
所以，即，得，
同时，指数函数在上单调递增，且，则，即，
所以，即成立，
所以函数在上单调递增，且，
若，只需，解得，
故答案是：.
11．/
【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解.
【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减，
所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上的最小值是.
故答案为：.
12．
【分析】根据已知列出不等式，根据指数函数的单调性求解，即可得出答案.
【详解】要使函数有意义，则应有，所以.
故答案为：.
13．0
【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得，继而可得区间关于原点对称，即可得到答案.
【详解】因为函数为上的递增函数，
且，
所以，
由题意，
对任意的，存在唯一的，
使得，
即，
即任意的，存在唯一的，
故区间关于原点对称，
则，
故答案为：0.
14．
【分析】根据函数的单调性求得正确答案.
【详解】函数在区间上单调递增，
所以最小值为.
故答案为：
15．(1)，证明见解析；
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可．
（2）结合单调性的定义即可证明.
【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，
则，解得，
此时，
，符合题意，
故.
（2）是上的增函数，证明如下：
当时，
设任意且，
，
，，，
，
则
，
是在上是单调增函数.
16．（1）；（2）
【分析】（1）由可得，后续迭代计算即可得；
（2）结合所给性质逐个计算即可得.
【详解】（1）由，则，
又，故，
，故，
，故，
，故，
，故，
当时，有，
即，，，
，；
（2）由，故，
，
，
，
由，故，
，
，
，
，
由，故，
即有
.
【点睛】关键点睛：第一小问关键在于能借助得到；第二小问关键在于能借助性质得到，并通过该性质不断计算化简.
17．(1)1999年发奖后基金总额为万美元，当年每项奖金发放万美元；
(2)与计算结果相符，理由见解析.
【分析】（1）由题设知1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为，再平均分6份，即可求结果；
（2）根据题设有且，再求出2011年发奖后基金总额，进而求出2012年度各项奖金额，即可判断.
【详解】（1）由题设，1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元；
当年每项奖金发放万美元.
（2）由且，则2011年，即，
所以2011年发奖后基金总额为，
则2012年度各项奖金为万美元，
所以“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”与计算结果相符.