08函数的奇偶性、单调性、最值-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版202

这是一份08函数的奇偶性、单调性、最值-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版202，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·上海·高一上海市进才中学校考期末）已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ）
A．、都是p的充分条件B．只有是p的充分条件
C．只有是p的充分条件D．、都不是p的充分条件
2．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是严格增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·上海虹口·高一统考期末）对于以下两个结论，说法正确的是（ ）
结论①：设，若任取，且，则必有；
结论②：设，则有对恒成立．
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
4．（2024上·上海虹口·高一统考期末）对于以下两个结论，说法正确的是（ ）
结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是；
结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
5．（2024上·上海浦东新·高一统考期末）已知定义在上的偶函数在上严格增，记函数．对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格增；②存在函数，函数在上严格减．则（ ）
A．①②都是真命题B．①②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题
6．（2021上·上海嘉定·高一统考期末）下列关于幂函数的说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．以上皆不是
7．（2021上·上海嘉定·高一统考期末）已知函数的值域为，关于其定义域，下列说法正确的是（ ）
A．只能是实数集
B．任取中两个元素，乘积一定非负
C．不可能是无穷多个闭区间的并集
D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合
8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2021上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）
三、填空题
10．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知（且），若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
11．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，是定义在上的偶函数，且当时，.若，则 .
12．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）函数为奇函数，则实数a的值为 ．
13．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ．
14．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）某物理学家用数学方法证明数学对物理是有用的：把物理世界G（现实世界）看作时空点（四元数），找到一个函数，若存在实数，使对任意的均有不等式（是与物理世界G的时空点有关的另一个函数）成立.则称物理世界G与函数在区间上“拟同态”，函数叫物理世界G在区间上的“拟同态函数”，通过研究“拟同态函数”，可以获得物理世界G（现实世界）的相关信息.现在知道某具体物理现象G，在s的区间上的“拟同态函数”：，且，则实数n的取值范围是 .
15．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）定义在上的函数是奇函数，则实数 .
四、解答题
16．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）已知
(1)当时，解不等式：
(2)对不同的值，讨论的奇偶性；
17．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”.
(1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，，，求实数a的取值范围；
(3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
18．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）已知函数（且）
(1)若，求函数的值域；
(2)若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由.
(3)若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可推出成立；若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式性质，也可推出成立.
【详解】若成立，当，有.
因为单调递减，且恒成立，所以，
所以，
故存在（且），对任意的，均有恒成立，
所以是p的充分条件；
若成立时，当时，，.
因为单调递增，所以恒成立，
故存在（且），对任意的，均有恒成立，
所以也是p的充分条件.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到相应的满足要求，从而得解.
2．D
【分析】根据奇函数和函数单调性相关知识逐一判断即可.
【详解】对于A，在和单调递增，在定义域不单调递增，故A错误；
对于B，是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，定义域，，故函数为奇函数，由幂函数单调性可知，在单调递增，故D正确.
故选：D
3．B
【分析】利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②.
【详解】对于①，因为在上是增函数，
且在上也是增函数，
所以在上是增函数，
则任取，且，
必有，①正确；
对于②，，②错误.
故选：B
4．B
【分析】利用函数单调性的概念判断①，利用奇偶性的定义判断②
【详解】结论①：若函数是定义在上的增函数，当时，可以推出，当时，可以推出，
故的充要条件是；①对
结论②：若定义在上的函数满足，则，
故不一定恒成立，也不一定恒成立，
如函数，②错.
故选：B.
5．A
【分析】根据函数单调性和奇偶性，结合常见函数的单调性即可求解.
【详解】若，则为偶函数且在上严格增，此时，则在上严格增，故①是真命题，
若，则为偶函数且在上严格增,
则，则为上的奇函数，
先考虑时，，
由于函数为上的单调递减函数，
所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故②都是真命题，
故选：A
6．B
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，
又由，所以函数为偶函数.
故选：B.
7．D
【分析】利用二次函数的性质逐一分析ABD，举反例排除C，从而得解.
【详解】对于A，当时，满足的值域为，故A错误；
对于B，当时，满足的值域为，
此时取，则，故B错误；
对于C，取，
此时，对于任意，取表示的整数部分，
则，即，故有，故C错误.
对于D，当时，满足的值域为，
而所有有理数以及负无理数所成集合包含了，满足题意，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题选项C的解决关键是对无穷大的理解.
8．B
【分析】根据函数奇偶性定义以及函数的单调性，判断四个选项即可·
【详解】对于A，，根据幂函数性质，可知函数在单调递增，故A错误；
对于B，，定义域为，，所以为偶函数，
又在上单调递增，所以在上单调递减，故B正确；
对于C，，当，在上单调递增，故C错误；
对于D，，定义域为，，所以为奇函数，故D错误，
故选：B·
9．BC
【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B，举反例说明B说法错误；对于C，举反例说明C说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确.
【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；
对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；
对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；
对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.
故选：BC.
10．
【分析】根据题意利用分段函数、指数函数单调性列式求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
11．
【分析】先根据函数的奇偶性得到时的解析式，再根据，得到，求出.
【详解】当时，，则，
又是定义在上的偶函数，故，
则，
其中，故，
故，解得.
故答案为：
12．/
【分析】根据奇函数满足求解即可.
【详解】因为为奇函数，故，
即，即，解得.
故答案为：
13．
【分析】根据奇函数满足求解即可.
【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式.
故答案为：
14．
【分析】将问题转化为最值问题，结合二次函数的单调性求解最值，以及利用函数的单调性求解最值，即可求解.
【详解】根据题意可得：存在实数，对任意的均有成立，
所以对任意的，故，
进而可得，
化简得，
因此问题转化为存在使得成立，
故，
由于函数均为单调递增函数，故在单调递增，因此，
所以，即，
故答案为：
15．/
【分析】根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义及判定，即可求解.
【详解】由函数为上的奇函数，则，解得，
经检验，当时，，
此时，此时函数为奇函数，
所以.
故答案为：.
16．(1)
(2)详见解析
【分析】（1）由不等式即为 ，利用一元二次不等式的解法求解；
（2）利用函数奇偶性的定义求解.
【详解】（1）解：当时， ，
则不等式即为，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以不等式的解集为：
（2）若为奇函数，
则恒成立，即恒成立，
即恒成立，即恒成立，
所以；
若为偶函数，
则恒成立，即恒成立，
即恒成立，所以，
当时，既不是奇函数，也不是偶函数，
17．(1)偶函数，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明；
（2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果；
（3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明.
【详解】（1）因为，所以对有，
令，且，
因为，
所以，
所以，
所以，且定义域为关于原点对称，
所以是偶函数；
（2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上，
所以在上单调递增，在上单调递增，
不妨假设，
所以，
即，
设，
当时，，在上单调递增，显然满足要求，
当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得，
当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求，
综上可知，的取值范围是；
（3）不妨设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以使得，则，则，
这与“，都有”矛盾，
所以不存在，使得；
假设存在，使得，
设，则，，
所以使得，则，则，
这与“，都有”矛盾，
所以不存在，使得，
由上可知，当时，；
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，
所以，使得，则，则，
这与“，都有”矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有，
所以是上的严格增函数.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便.
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为,
（2）由函数奇偶性定义即可解得，
（3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数的取值范围是.
【详解】（1）若可得函数，
由指数函数值域易知，所以，
因此可得，
即该函数的值域为；
（2）若，则函数，显然定义域为，
假设存在正数，使得函数是偶函数，即满足，
又易知，即可得，即，
解得，
此时为偶函数，符合题意，
所以存在正数，使得函数是偶函数；
（3）若，，则，
取，且
则，
若函数在上是严格增函数，则可知,
由于，所以，
又易知，所以在上恒成立即可，
即，因此求得即可，
因此可不予考虑，只需考虑时成立即可；
当，易知,
显然为减函数，所以；
当且仅当时，等号才成立，显然取不到等号，
因此.
即实数的取值范围为.