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第十二讲 二次函数及其图像与性质（强化训练）（原卷版）-备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
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这是一份第十二讲 二次函数及其图像与性质（强化训练）（原卷版）-备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用），共11页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8761" 考点一 二次函数的定义 PAGEREF _Tc8761 \h 1
\l "_Tc18939" 考点二 二次函数的解析式 PAGEREF _Tc18939 \h 2
\l "_Tc14807" 考点三 二次函数图形变换 PAGEREF _Tc14807 \h 3
\l "_Tc8530" 考点四 二次函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc8530 \h 3
\l "_Tc5605" 考点五 二次函数系数间的关系 PAGEREF _Tc5605 \h 5
\l "_Tc12454" 考点六 二次函数的应用 PAGEREF _Tc12454 \h 6
\l "_Tc2674" 考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值 PAGEREF _Tc2674 \h 8
考点一 二次函数的定义
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．y＝x2+2x﹣1D．y＝x﹣2
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝ax2+bx+cC．y＝t2﹣2t+2D．y＝x2+
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2）B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+cD．y＝
考点二 二次函数的解析式
1．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
2．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）求m的值；
（Ⅲ）当﹣1≤x≤5时，求y的最值（最大值和最小值）及此时x的值．
4．将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
（1）y＝x2﹣6x﹣1
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6
（3）y＝x2+3x+10．
考点三 二次函数图形变换
1．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
2．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为 ．
3．把抛物线y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 ．
4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移 个单位长度后经过点A（2，2）．
考点四 二次函数与方程、不等式
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+5﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 ．（填写序号）
4．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ ．
5．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为 ．
8．如图，已知二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，与x轴正半轴交于点B，若y1＜y2，则x的取值范围是 ．
考点五 二次函数系数间的关系
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＜0，②2a+b＝0，③a+c＞b，④4ac﹣4a＜b2，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤
3．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④B．①②⑤C．①②④D．②③⑤
考点六 二次函数的应用
1．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
2．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
4．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．
（1）抛物线的解析式为： ；
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
29．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？
30．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+交y轴于点A，顶点为B．
（1）如图1，点C在抛物线上，横坐标为﹣10，求线段BC的长；
（2）在（1）的条件下，设E、F分别是x轴、y轴上的动点，当四边形BCEF周长最小时，作直线EF，设G是直线y＝﹣x上的动点，H是OG的中点，以HG为斜边构造如图2所示的等腰Rt△HRG，当△HRG与△OEF重叠部分为四边形时，求重叠四边形面积的最大值；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8761" 考点一 二次函数的定义 PAGEREF _Tc8761 \h 1
\l "_Tc18939" 考点二 二次函数的解析式 PAGEREF _Tc18939 \h 2
\l "_Tc14807" 考点三 二次函数图形变换 PAGEREF _Tc14807 \h 3
\l "_Tc8530" 考点四 二次函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc8530 \h 3
\l "_Tc5605" 考点五 二次函数系数间的关系 PAGEREF _Tc5605 \h 5
\l "_Tc12454" 考点六 二次函数的应用 PAGEREF _Tc12454 \h 6
\l "_Tc2674" 考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值 PAGEREF _Tc2674 \h 8
考点一 二次函数的定义
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．y＝x2+2x﹣1D．y＝x﹣2
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝ax2+bx+cC．y＝t2﹣2t+2D．y＝x2+
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2）B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+cD．y＝
考点二 二次函数的解析式
1．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
2．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）求m的值；
（Ⅲ）当﹣1≤x≤5时，求y的最值（最大值和最小值）及此时x的值．
4．将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．
（1）y＝x2﹣6x﹣1
（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6
（3）y＝x2+3x+10．
考点三 二次函数图形变换
1．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
2．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为 ．
3．把抛物线y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 ．
4．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移 个单位长度后经过点A（2，2）．
考点四 二次函数与方程、不等式
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+5﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 ．（填写序号）
4．已知函数y＝mx2+2x﹣m+2的图象与坐标轴只有两个交点，则m＝ ．
5．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
6．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为 ．
8．如图，已知二次函数y1＝x2﹣3x的图象与正比例函数y2＝x的图象在第一象限交于点A，与x轴正半轴交于点B，若y1＜y2，则x的取值范围是 ．
考点五 二次函数系数间的关系
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＜0，②2a+b＝0，③a+c＞b，④4ac﹣4a＜b2，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤
3．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）
A．②③④B．①②⑤C．①②④D．②③⑤
考点六 二次函数的应用
1．某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
2．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
4．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
考点七 利用二次函数求线段、周长、面积的最大值
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．
（1）抛物线的解析式为： ；
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
29．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？
30．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+交y轴于点A，顶点为B．
（1）如图1，点C在抛物线上，横坐标为﹣10，求线段BC的长；
（2）在（1）的条件下，设E、F分别是x轴、y轴上的动点，当四边形BCEF周长最小时，作直线EF，设G是直线y＝﹣x上的动点，H是OG的中点，以HG为斜边构造如图2所示的等腰Rt△HRG，当△HRG与△OEF重叠部分为四边形时，求重叠四边形面积的最大值；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
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