湖南师范大学附属中学2022届高三下学期一模数学试题含答案

这是一份湖南师范大学附属中学2022届高三下学期一模数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知集合，，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ）
A．B．C．D．
2. 已知，，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
4. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5. 在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面
C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面
8. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x＞3”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与B对立
C．D．A与C相互独立
10. 已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（ ）
A．B．（）
C．的图象关于点（，0）对称D．为偶函数
11. 在棱长为1的正方体 中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则（ ）
A．点的轨迹是一条线段B．直线与可能相交
C．直线与不可能平行D．三棱锥的体积为定值
12. 已知正数x，y，z满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13. 已知是关于x的方程的根，则实数_______．
14. 已知，若正数a，b满足，则的最小值为_____________.
15. 已知点、在椭圆上，为坐标原点，直线与的斜率之积为，设，若点在椭圆上，则的值为________．
16. 已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题）
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角A的值；
(2)在①MC=2MB，②S△ABM=，③sin∠MBC=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．若M为AC边上一点，且MA=MB，_______，求△ABC的面积S△ABC．
18. 已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点，平面，．
(1)若点在线段上，且直线平面，确定点的位置；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20. 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点．且．
(1)求的方程；
(2)设动直线平行于直线，且与交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．
21. 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
22. 已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．
参考答案
1. 【答案】D
【解析】就分类讨论求出集合，再结合可得的值.
【详解】等价于
当时，，此时，符合；
当时，，因为，故或即或，
故选：D.
2. 【答案】C
【分析】先利用诱导公式求出，，利用二倍角公式判断出，，即可判断出角所在的象限.
【详解】因为，所以；因为，所以.
所以，，
所以是第三象限角.
故选：C.
3. 【答案】B
【分析】首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
4. 【答案】A
【分析】在中，利用正弦定理可得，再结合双曲线的定义可得，可得求，，再利用，即可求出双曲线的离心率的取值范围.
【详解】在中，，由正弦定理得，，
又点是双曲线上在第一象限内的一点，所以，所以，，
在中，由，得，即，所以，
又，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求解离心率取值范围的关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，本题是利用点是双曲线上在第一象限内的一点，结合三角形两边之和大于第三边，构造不等式.
5. 【答案】D
【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解
【详解】设为斜边上的高，则圆的半径，
设为斜边的中点，，因为，，
则
，
所以的最大值为
故选：D
6. 【答案】A
【分析】将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
7. 【答案】C
【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误.
【详解】因为，则，，，四点共面.
因为，则平面，又平面，
则点在平面与平面的交线上，
同理，、也在平面与平面的交线上，
所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面.
由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面.
故选：C.
8. 【答案】D
【分析】将方程，转化为，在同一坐标系中作出函数与的图象，利用数形结合法求解.
【详解】方程，即为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以函数与的图象有两不同的交点，
在同一坐标系中作出函数与的图象如图所示：
由图象知：当直线过点时，，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
【点睛】方法点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
9. 【答案】AD
【分析】列举出事件A，B所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断AB；分别求出，再根据条件概率公式即可判断C；分别求出，即可判断D.
【详解】解：事件A包含的基本事件为，，，，，共6种，
所以，
事件包含的基本事件为，，，，，，，，共9种情况，
则，所以A与互斥但不对立，故A正确，B错误；
事件包含的基本事件数为，
则，，
所以，故C错误；
因为，，
则，所以A与相互独立，故D正确.
故选：AD.
10. 【答案】BCD
【分析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】因为是的一个极值点，则，所以A错误；
因为，则，可得，
令，解得，所以B正确.
因为，
则，所以C正确；
因为，
则当为奇数时，为偶函数；
当为偶数时，为偶函数，所以D正确.
故选：BCD.
11. 【答案】AD
【分析】取线段，中点，，证得平面平面，得到平面，可判定A正确；根据异面直线的定义，得到与是异面直线，可判定B错误；当点与点重合时，可判定C错误；由点到平面的距离是定值，且的面积为定值，可判定D正确.
【详解】如图所示，分别取线段，中点，，连接，，，
则，，所以平面平面，
因为平面，则平面,
又点是侧面内的动点，所以点的轨迹为线段，所以A正确；
因为在平面内，直线与平面相交，且交点不在上，
所以与是异面直线，所以B错误；
当点与点重合时，直线与直线平行，所以C错误；
因为，则平面，所以点到平面的距离是定值，
又由的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确.
故选：AD.
12. 【答案】ABD
【分析】设，，求出，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C.
【详解】解：设，，
则，，，
所以，A正确；
因为，则，
因为，则，
所以，B正确；
因为，
则，D正确.
因为，则，所以，C错误.
故选：ABD.
13. 【答案】
【分析】由也是方程的根，再由韦达定理可得．
【详解】因为是关于x的方程的根，其中，
所以也是关于x的方程的根，
所以，．
故答案为：．
14. 【答案】1
【分析】求得为奇函数，且在上递增，可得，则，展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
【详解】解：函数，
可得，
可得为奇函数，
由可得在上递增，
则，
即有，
可得，
即为，
则
，
当且仅当时，取得等号．
则的最小值为1．
故答案为：1．
15. 【答案】
【分析】设点、，可得出，，且，将点代入椭圆的方程，可求得的值.
【详解】设点、，则，，且.
由题设，点在椭圆上，则
即，得.
故答案为：.
16. 【答案】
【分析】对函数求导可知在上单调递增，在上单调递减，设，则当时，恒成立，即恒成立，设，求其最大值后可求k的取值范围.
【详解】，则当时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则，，
由已知，即，
令，则在上不存在减区间，
从而当时，恒成立，即恒成立，
令，则，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，所以.
17. 【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及正弦定理，转化得到，借助于诱导公式得到，由，即可求出；
（2）选条件①：在中，设，利用余弦定理得解得，求出的面积.
选条件②：由，求得.在中，设，利用余弦定理得，解得.即可求出的面积.
选条件③：在中，由正弦定理求得.设，由余弦定理解得
即可求出的面积.
（1）
由已知及正弦定理，得.
因为，则，
所以，
即，则，
因为，则，，
所以，得，即.
（2）
选条件①：如图，因为，，则为等边三角形.
在中，设，则.
因为，，
由余弦定理得，
即，得
所以，，的面积.
选条件②：如图，因为，，则为等边三角形.
因为，则，所以.
在中，因为，
设，由余弦定理得
即，解得，则.
所以的面积.
选条件③：如图，因为，，则为等边三角形，从而，
在中，由正弦定理，得
设，由余弦定理，得，即，解得.
从而，
所以的面积.
18. 【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
19. 【答案】(1)M为PB的中点
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，再利用平行四边形的性质及三角形的中位线，结合平行的传递性即可求解；
（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解.
（1）
为的中点时，直线平面．
证明如下：设平面交直线于，连接.
因为平面，
平面平面,平面,所以．
因为，平面，平面，所以平面，
平面平面,平面,所以，
所以四边形为平行四边形，从而．
因为为的中点，则，
所以又，所以点为的中点．
（2）
因为平面PAB，则，，以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示
设，则，．因为，则．
所以点，，，，，，，
设平面PCE的一个法向量为，则，
即
不妨令，得，，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量．
设平面与平面所成锐为二面角为，则，
所以平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值为．
20. 【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立方程组，求得，得到，结合抛物线的定义列出方程，求得的值，即可求解；
（2）设点，，，结合方程得到，根据，得到，再由，求得，进而得到方程，得出，即可求解.
(1)
解：联立方程组，整理得，
设点，，则，可得，
由抛物线定义得，
则，解得，
所以抛物线的方程为.
(2)
证明：设点，，
因为，两式相减得，
因为，则，
设点，，
因为，则，可得，
两式相加得，
又因为，则，即，
因为，所以，所以点在定直线上.
21. 【答案】(1)分布列见解析，
(2)7次
【分析】（1）由题意分析的所有可能取值为0，1，2，3.分别求概率，写出分布列，求出数学期望；
（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，得到，能证明出是首项为，公比为的等比数列.求出，根据题意建立不等式，求出n的最大值.
【详解】（1）据题意，的所有可能取值为0，1，2，3.
当时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则
当时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则
当时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，
则
当时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则
所以的分布列为：
（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，由题设，
则因为
则，所以是首项为，公比为的等比数列.
则，
所以
由，得，所以为奇数.
由，得
因为为奇数，则，即，则.
当时，，9，11，13，15，17，19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.
22. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)两条
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）设直线分别与函数，的图象相切于点，，依题意可得，即可得到方程组，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解；
【详解】（1）解：由题设，，定义域为，
则
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：因为，，所以，，
设直线分别与函数，的图象相切于点，
则，即
由，得
即，即
由，得，代入上式，得
即，则
设
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则在上仅有一个零点.
因为，则在上仅有一个零点.
所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.
0
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