2023-2024学年甘肃省平凉市华亭县皇甫学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市华亭县皇甫学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a4=a7B. (a3)4=a7C. (a2b)3=a5b3D. a6÷a3=a2
3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−x−2=(x−2)(x+1)B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−4x+4=x(x−4)+2D. x+1=x(x+1x)
4.若使分式xx−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≠−2C. x≠−1D. x=2
5.等腰三角形的一个角是70°，则它的一个底角的度数是( )
A. 70°B. 70°或55°C. 80°D. 55°
6.下列分式中，从左到右变形错误的是( )
A. c4c=14B. 1a+1b=1a+b
C. 1a−b=−1b−aD. a2−4a2+4a+4=a−2a+2
7.如果一个多边形的每个内角都是144°，则它的边数为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
8.在下列图形中，正确画出AC边上的高的是( )
A. B.
C. D.
9.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个长方形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+2b)(a−b)=a2+ab+b2
10.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 600x+50=450xB. 600x−50=450xC. 600x=450x+50D. 600x=450x−50
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是______ ．
12.若(a−1)2+|b−2|=0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为______ ．
13.若ba=32，则b−aa=______．
14.若分式方程2+1−kxx−2=1x−2有增根，则k=______．
15.已知4m=5，4n=9，则4m+n的值为______．
16.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么常数k= ______ ．
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为______ cm．
18.如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为______cm．
三、解答题：本题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
分解因式：
(1)25x2−16y2；
(2)(a−b)(x−y)−(b−a)(x+y)．
20.(本小题8分)
解下列分式方程：
(1)2x−3=3x−2；
(2)xx−2−1=8x2−4．
21.(本小题6分)
先化简，再求值．
(aa−b+2ba−b)·aba+2b÷(1a+1b)，其中a=−2，b=−1．
22.(本小题6分)
作图题(不写作法)已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1(______)，B1(______)，A1(______)；
(2)直接写出△ABC的面积为______；
(3)在x轴上画点P，使PA+PC最小．
23.(本小题5分)
如图，EF/​/BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度数．
24.(本小题5分)
如图，点B在线段AD上，BC/​/DE，AB=ED，BC=DB.求证：∠A=∠E．
25.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．
26.(本小题5分)
如图，∠1=∠2，点P为BN上的一点，∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．
27.(本小题8分)
(1)如图(1)，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE.则∠AEB的度数为______ 度，线段AD与BE的数量关系为______ (用几何语言填写)．
(2)如图(2)，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.若∠CAD=30°，求AB与BE的位置关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故此选项符合题意；
B、(a3)4=a12，故此选项不符合题意；
C、(a2b)3=a6b3，故此选项不符合题意；
D、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.等式从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
B.等式从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.等式从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.等式从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】A
【解析】解：∵分式xx−2有意义，
∴x的取值范围是：x−2≠0，
解得：x≠2．
故选：A．
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确70°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】
解：因为等腰三角形的一个角是70°，
所以①当顶角为70°时，那么底角为：(180°−70°)÷2=55°，
②底角为70°．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：A．c4c=14，等于右边，所以选项变形正确，故此选项不合题意；
B.1a+1b=bab+aab=a+bab，不等于右边，所以选项变形错误，故此选项符合题意；
C.1a−b=−1b−a，等于右边，所以选项变形正确，故此选项不合题意；
D.a2−4a2+4a+4=(a+2)(a−2)(a+2)2=a−2a+2，等于右边，所以选项变形正确，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，正确化简分式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷一个外角的度数计算即可．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，掌握边数=360°÷一个外角的度数是关键．
【解答】
解：因为180°−144°=36°，
360°÷36°=10，
故这个多边形的边数是10．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：A、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中BD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
D、图中BD是AC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2−b2，而新形成的长方形的长为a+b，宽为a−b，根据两者相等，即可验证平方差公式．
【解答】
解：由题意得：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产(x+50)台．
依题意得：600x+50=450x．
故选A．
11.【答案】15：01
【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01．
故答案为：15：01．
根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称来解答此题．
本题考查了镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧，①平面镜成像的特点之一就是左右上下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每一个数字左右反转，即为像对应的时间．②读取时间问题可以把试卷反过来直接去读．
12.【答案】5
【解析】解：∵(a−1)2+|b−2|=0，
∴a−1=0，b−2=0，
∴a=1，b=2，
∵a、b为等腰三角形的边长，
∴有两种情况：
①当三边为1，1，2时，1+1=2，不符合三角形的三边关系定理，不能组成等腰三角形；
②当三边为1，2，2时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此时三角形的周长为1+2+2=5；
所以等腰三角形的周长是5，
故答案为：5．
先求出a、b的值，根据等腰三角形的性质求出答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，偶次方和绝对值的非负性等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：设a=2k，b=3k，
∴b−aa=3k−2k2k=k2k=12．
故答案为12．
根据ba=32可设a=2k，b=3k，再将a，b代入b−aa计算可求解．
本题主要考查比例的性质．
14.【答案】0
【解析】解：2+1−kxx−2=1x−2，
2(x−2)+1−kx=1，
解得：x=42−k，
∵分式方程有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
把x=2代入方程x=42−k中，
2=42−k，
解得：k=0，
经检验：k=0是原方程的根，
故答案为：0．
根据题意可得x=2，然后代入x=42−k中，进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的关键．
15.【答案】45
【解析】解：∵4m=5，4n=9，
∴4m+n=4m×4n=5×9=45，
故答案为：45．
根据同底数幂的乘法法则即可求解．
本题主要考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
16.【答案】±6
【解析】解：∵x2+kxy+9y2是一个完全平方式，
∴x2+kxy+9y2=(x±3y)2=x2±6xy+9y2．
∴k=±6，
故答案为：±6．
根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征解决此题．
本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
AD=ADCD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长=AE+BE=AB=6cm．
故答案为6．
先利用角平分线的性质得到DC=DE，则△DEB的周长=BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，所以△DEB的周长=AE+BE=AB．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
18.【答案】18
【解析】【分析】
本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长．
【解答】
解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm．
故答案为18．
19.【答案】解：(1)25x2−16y2=(5x+4y)(5x−4y)；
(2)(a−b)(x−y)−(b−a)(x+y)
=(a−b)(x−y+x+y)
=2x(a−b)．
【解析】(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案；
(2)直接提取公因式(a−b)，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
20.【答案】解：(1)2x−3=3x−2，
2(x−2)=3(x−3)，
解得：x=5，
检验：当x=5时，(x−3)(x−2)≠0，
∴x=5是原方程的根；
(2)xx−2−1=8x2−4，
x(x+2)−(x2−4)=8，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x2−4=0，
∴x=2是原方程的增根，原方程无解．
【解析】(1)按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
21.【答案】解：(aa−b+2ba−b)·aba+2b÷(1a+1b)
=a+2ba−b⋅aba+2b÷a+bab
=a+2ba−b⋅aba+2b⋅aba+b
=a2b2a2−b2，
当a=−2，b=−1时，原式=−22×−12−22−−12
=4×14−1
=43．
【解析】先利用同分母分式加减法法则，异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)−1，2；−3，1；−4，3
(2) 52；
(3)如图，点P即为所求点．
【解析】解：(1)如图所示，
由图可知，A1(−1,2)，B1(−3,1)，C1(−4,3)；
(2)S△ABC=2×3−12×2×1−12×2×1−12×1×3
=6−1−1−32
=52．
故答案为：52；
(3)见答案．
(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出各点坐标即可；
(2)利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
(3)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，则A′C与x轴的交点即为P点．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
23.【答案】解：∵EF/​/BC，
∴∠BAF=180°−∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=12∠BAF=50°，
∵EF/​/BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，∵BC/​/DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
AB=DE∠ABC=∠BDEBC=BD,
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠A=∠E．
【解析】直接利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
25.【答案】证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△FBD和△ABC中，
∠F=∠A∠FBD=∠ABC=90°BD=BC,
∴△FBD≌△ABC(AAS)，
∴AB=BF．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
根据EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC，则AB=BF．
26.【答案】证明：过点P作PE⊥BA于点E，过点P作PF⊥BC于点F，则∠PEA=∠PFC=90°．
∵∠1=∠2．
∴PE=PF．
∵∠PCB+∠BAP=180°．
∠EAP+∠BAP=180°．
∴∠EAP=∠PCB．
在△PEA和△PFC中．
∠EAP=∠PCB∠PEA=∠PFCPE=PF．
∴△PEA≌△PFC(AAS)．
∴PA=PC．
【解析】过点P作PE⊥BA于点E，过点P作PF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到PE=PF，然后利用“AAS”判定△PEA≌△PFC，得到对应边相等PA=PC．
本题考查了角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】90 AD=BE
【解析】解：(1)∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠DAB+∠ABC=90°，
∴∠AEB=180°−(∠CBE+∠DAB+∠ABC)=90°，
故答案为：90；AD=BE；
(2)AB⊥BE，
理由：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ABC=∠DCE=60°，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∴AB⊥BE．
(1)根据手拉手模型−旋转型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质可得AD=BE，∠CAD=∠CBE，再根据已知易得：∠CAD+∠DAB+∠ABC=90°，从而可得∠CBE+∠DAB+∠ABC=90°，最后利用三角形内角和定理可得∠AEB=90°，即可解答；
(2)根据手拉手模型−旋转型全等可得△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE=30°，从而可得∠ABE=90°，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型−旋转型全等是解题的关键．