湖北省宜昌市葛洲坝中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省宜昌市葛洲坝中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分120分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 函数定义域为（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为且.
故选：A.
2. 函数的零点所在的一个区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】为增函数，
.
所以函数的零点所在的一个区间是.故选C.
3. 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由弧度定义及扇形面积列式求得弧长与半径，即可得求得周长.
【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，
∵扇形圆心角的弧度数是4，∴，
由，
∴扇形的周长为.
故选：C
4. 若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.
【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；
反过来，因为，所以当时，有，即.
综上可知，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同角的平方关系与商关系求解即可．
【详解】解：∵，则，
∴，即，
又，
∴，即，
又为第二象限角，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题．
6. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】由三角函数的定义可得：，
也即，由可得：
，解得：或（舍去），
因为角终边过点，所以，则，
故选：.
7. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（ ）
A. 0B. -1
C. 1D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，可得函数的周期， 由此即可求出结果.
【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；
所以，所以，所以，
所以函数的周期，
.
故选：B.
8. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数与下列哪项最接近（ ）（结果精确到，参考数据，，）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正切函数的定义即可求解.
【详解】
依题知，为等腰直角三角形，则，，
则，
在，，即，
故点在尺上的读数约为
故选：C
二、多选题（每题5分，共15分）
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质，结合幂函数的单调性，举反例对每个选项逐一验证，确定正确选项即可．
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，因为，所以，得，故B正确；
对于C，由，则，即，又，
所以，故C正确；
对于D，又即，又函数是R上的增函数，所以
故D正确.
故选：BCD.
10. 已知，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平方关系式可得，利用诱导公式计算可得，，.
【详解】由，可得，
，
，
．
故选：BD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 圆一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C. 经过小时，时针转了
D. 若角和角的终边关于对称，则有
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C，根据任意角的定义即可判断；对于D，由角的终边得出两角的关系即可
【详解】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；
因为，所以或，
故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，
综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确
对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，
所以经过4小时应旋转，故C错误；
对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确
故选：ABD
三、填空题（每题5分，共20分）
12. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；
【答案】6
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解即可.
【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，
则扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：6
【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.
13. 若一个扇形的面积为，则当半径为________时扇形的周长最小.
【答案】2
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由扇形的面积为，则，得，
扇形的周长为，
当且仅当即时，等号成立.
所以当时，扇形的周长最小.
故答案为：.
14. 已知函数，若___________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】解：因为函数，
所以，即，
所以，
故答案为：5.
15. 已知函数 ，若且，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题设，结合对数函数的单调性即可得，再根据基本不等式即可求得答案.
【详解】解：由对数复合函数的单调性得函数在上单调递增，
因为，
所以函数在上，在上，
因为且，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
由于，所以等号不能取到，
所以，
所以的取值范围是
故答案为：
四、解答题
16. （1）已知，且为第二象限角，求，的值；
（2）化简求值：
【答案】（1），；（2）2．
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系即可求得，的值；
（2）利用指对数运算规则即可求得该代数式的值.
【详解】（1）由，且为第二象限角，
可得，
；
（2）
17. 已知，
（1）求的值；
（2）求；
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知，化简整理可得，即可得解；
（2）化简，根据（1）的结果代入即可得解．
【详解】（1）由已知，
化简得，整理得故
（2）
．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题.
18. （1）求函数的最小值.
（2）若是关于的方程的两个根，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质，即可求解；
（2）根据题意，利用韦达定理，得出方程，求得的值，得出，再结合诱导公式化简、求值即可.
【详解】（1）解：由函数，
因为，所以当时，函数取最小值.
（2）解：因为是关于的方程的两个根，
由，即，解得或，
且，
因为，即，
解得或（舍去），所以，
所以
.
19. （1）已知方程，的值．
（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；
（2）由根与系数关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值．
【详解】解：（1）由得：，
即，
，



；
（2），是关于的方程的两个实根，
，
解得：，
又，
，
，
即，
解得：，
，
.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.
20. 已知 若有六个根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】令，则，作出函数的图象，转化为在上有两解，列出不等式组，即可求解.
【详解】令，则，作出函数的图象，如图所示，
设函数的零点分别为，
由图象知，要使得有六个根，转化为在上有两解，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.