2023-2024学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1,a}，B={1,2}，若A=B，则实数a的值为( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
2.已知复数z=−i，则z的虚部为( )
A. 1B. iC. −1D. −i
3.已知在△ABC中，点D在边BC上，且BD=5DC，则AD=( )
A. 16AB+56ACB. 16AC+56ABC. 15AB+45ACD. 45AB+15AC
4.已知函数f(x)=x2−2mx+m在区间(−∞,3]上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A. [−3,+∞)B. [3,+∞)C. (−∞,32]D. (−∞,3]
5.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆C过点T(1,32)，点F为椭圆C的左焦点，则点F的坐标为( )
A. (−2,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (−1,0)
6.下表是某班10个学生的一次数学测试成绩：
这10名学生此次数学测试平均成绩为135，则m=( )
A. 147B. 140C. 135D. 134
7.已知直线l：(2+m)x+(4m+1)y−3−m=0(m∈R)，圆O：x2+y2=4，则直线l与圆O的位置关系为( )
A. 无法确定B. 相离C. 相切D. 相交
8.如图，已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=7，AD=CD=4，则AC=( )
A. 6 105
B. 105
C. 6 305
D. 305
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是随机事件的是( )
A. 小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯B. 地球每天都在自转
C. 太阳从西边升起D. 明天会下雨
10.已知x>0，y>0且x+y=1，若1x+1y≥4a恒成立，则实数a可取( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
11.已知函数g(x)=f(2x)+f(x)，( )
A. 若函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)的定义域为[2,4]
B. 若函数f(x)是偶函数，则函数g(x)是偶函数
C. 若函数f(x)是周期函数，则函数g(x)是周期函数
D. 若函数f(x)在定义域内单调递增，则函数g(x)在定义域内单调递增
12.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台ABCD−A′B′C′D′是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，则( )
A. 该“刍童”的表面积为90+18 2
B. 该“刍童”中BD⊥平面ACC′A′
C. 该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为5916
D. 该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角的正弦值为4 4141
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,1)，b=(2,3)，则2a+b= ______ ．
14.在一个圆柱型的杯中放入一个球，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的体积与该球的体积之比为______ ．
15.如果函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为3π2，则ω的值为______ ．
16.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上两点，若|AB|=8，则AB的中点到y轴距离的最小值为______ ．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点．
(1)证明：AD1/​/PQ；
(2)求三棱锥A−B1QP的体积．
18.(本小题12分)
在等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=5，csA=−23．
(1)求sinB；
(2)求三角形ABC的面积．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax|x|+1(a≠0)．
(1)证明：函数f(x)为奇函数；
(2)当a>0时，求f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知M(x0,y0)是双曲线C：x2a2−y2=1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若||MF1|−|MF2||=2 3．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)当MF1⋅MF2<0时，求y0的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BAD=120°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点．
(1)求平面EFH与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)求平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面与PA交于点Q，求PQPA的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={1,a}，B={1,2}，
若A=B，则a=2．
故选：B．
根据集合相等的定义判断即可．
本题考查集合相等的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为复数z=−i，
则z的虚部为−1．
故选：C．
根据复数的定义可解．
本题考查复数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：AD=AB+56BC=AB+56×(AC−AB)=16AB+56AC．
故选：A．
根据向量的线性运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：二次函数f(x)=x2−2mx+m的图象开口向上，对称轴方程为x=m，
由函数f(x)=x2−2mx+m在区间(−∞,3]上单调递减，则有m≥3，
所以实数m的取值范围是[3,+∞)．
故选：B．
利用二次函数的单调性求实数m的取值范围．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a2=4b2=3c2=1．
∴c=1，则点F的坐标为(−1,0)．
故选：D．
由题意列关于a，b，c的方程组，求解c的值，可得椭圆的左焦点坐标．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，110×(135+136+136+135+m+2+133+128+127+124+m)=135，解得m=147．
故选：A．
根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．
本题主要考查平均数公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：直线l可化为m(x+4y−1)+(2x+y−3)=0，可知直线l经过x+4y−1=0与2x+y−3=0的交点，
由x+4y−1=02x+y−3=0，解得x=117y=−17，即直线l经过点M(117,−17)，
因为(117)2+(−17)2<4，所以点M(117,−17)在圆O：x2+y2=4的内部，
根据直线l经过圆O内的定点，可知直线l与圆O相交．
故选：D．
根据题意将直线l的方程整理，得到直线l经过定点M(117,−17)，然后判断出点M是圆O：x2+y2=4内部的一点，从而得出直线l与圆O的位置关系．
本题主要考查直线的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由余弦定理得AC2=4+49−2×2×7csB=53−28csB，
又AC2=16+16−2×4×4csD=32−32csD，
∵B+D=180°，
∴53−28csB=32+32csB，解得csB=720，
∴AC2=53−28csB=53−28×720=2165．
故AC=6 305．
故选：C．
利用余弦定理求出B，D的关系，结合圆内接四边形的对角和为180°，求出csB的值，进而求解结论．
本题主要考查了余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯，属于随机事件，故A正确；
对于B，地球天都在自转，属于必然事件，故B错误；
对于C，太阳从东边升起，属于不可能事件，故C错误；
对于D，明天可能下雨，也可能不下雨，属于必然事件，故D正确．
故选：AD．
结合随机事件的定义，即可求解．
本题主要考查随机事件的定义，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：因为x>0，y>0且x+y=1，若1x+1y≥4a恒成立，则4a≤(1x+1y)min，
而1x+1y=(1x+1y)(x+y)=2+yx+xy≥2+2 xy⋅yx=4，当且仅当xy=yx，即x=y=12时取等号，
所以1x+1y的最小值为4，
所以4a≤4，即a≤1．
故选：AB．
由题意可得4a≤(1x+1y)min，由“1”的活用及基本不等式可得(1x+1y)min，进而求出a的范围，选出答案．
本题考查“1”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：A选项，由题意得1≤x≤21≤2x≤2，解得x=1，故定义域为{1}，A错误；
B选项，函数f(x)是偶函数，故f(x)的定义域关于原点对称，且f(−x)=f(x)，
则g(x)的定义域关于原点对称，且g(−x)=f(−2x)+f(−x)=f(2x)+f(x)=g(x)，
故g(x)为偶函数，B正确；
C选项，f(x)的周期为T≠0，故f(x+T)=f(x)，则g(x+T)=f(2x+2T)+f(x+T)=f(2x)+f(x)=g(x)，
故g(x)为偶函数，C正确；
D选项，设函数f(x)的定义域为D，则f(2x)的定义域E⊆D，即g(x)的定义域为E⊆D，
由于f(x)在定义域内单调递增，故f(2x)在E上单调递增，由于增函数加上增函数仍为增函数，则函数g(x)在定义域内单调递增， D正确．
故选：BCD．
A选项，结合函数定义域的求解即可判断；B选项，由函数奇偶性定义进行判断；C选项，设出f(x)的周期为T，推出g(x)的一个周期即可；D选项，根据增函数加上增函数仍为增函数得到 D正确．
本题主要考查了函数的基本概念的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：设上下两底面的中心分别为N，M，A′B′的中点为S，C′B′的中点为G，
由题意NM⊥面ABCD，
设P，Q分别为AB，BC的中点，则MP⊥MQ，
而PM，QM⊂面ABCD，所以NM⊥PM，NM⊥QM，
所以MP，MQ，MN两两垂直，
所以以点M为原点，MP，MQ，MN所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，因为AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，过点S作SE⊥MP于点E，
则SE=MN=2，PE=PM−ME=12BC−12B′C′=4−2=2，所以SP= 4+4=2 2，
同理过点G作GF⊥MQ于点F，则GF=MN=2，
QF=QM−FM=12BA−12B′A′=3−32=32，所以GQ= 94+4=52，
所以侧面面积之和为
2×[12×(3+6)×2 2+12×(4+8)×52]=18 2+30，
而上下底面之和为3×4+6×8=60，
所以该“刍童”的表面积为(18 2+30)+60=90+18 2，故A正确；
对于B，由题意知四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，
MA=MB=12AC=12× 62+82=5，
但MA2+MB2≠AB2，这表明了BD与AC不垂直，
所以BD不垂直平面ACC′A′(否则由线面垂直的性质得BD⊥AC，导出矛盾)，故B错误；
对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线MN上，
不妨设它为O(0,0,z)，而AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，
所以A(4,−3,0),B′(2,32,2)，
由OA=OB′，即|OA|2=|OB′|2得，16+9+z2=4+92+(z−2)2，
解得z=−5916，所以该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为5916，故C正确；
对于D，因为AB=2A′B′=6，BC=2B′C′=8，
所以A(4,−3,0),A′(2,−32,2),AA′=(−2,−32,2)，
又NM⊥面ABCD，故取平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，
不妨设该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角为θ，
则该“刍童”侧棱A′A与平面ABCD所成角的正弦值为
sinθ=|cs|=|n⋅A′A||n||A′A|=21× 4+94+4=4 4141，故D正确．
故选：ACD．
对于A，把两个相邻的侧高求出来，然后就可以求侧面积，最终求表面积验算即可；对于B，可以证明BD与AC不垂直，即可推翻结论(结合线面垂直的性质)；对于C，建立适当的空间直角坐标系，可设O(0,0,z)，由OA=OB′，即|OA|2=|OB|2求出z的值即可；对于D，由线面角的正弦值的向量公式进行验算即可．
本题考查空间点线面位置关系的判定，考查空间几何体的表面积，考查线面角的正弦值求法，属中档题．
13.【答案】(4,5)
【解析】解：a=(1,1)，b=(2,3)，
则2a+b=(2,2)+(2,3)=(4,5)．
故答案为：(4,5)．
根据已知条件，结合平面向量的运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的运算，属于基础题．
14.【答案】3：2
【解析】解：设球的半径为：1，所以球的体积为：4π3，
圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的体积为：2π，
所以圆柱的体积与球的体积之比为：2π4π3=32．
故答案为：3：2．
设出球的半径，求出圆柱的体积，球的体积，即可得到体积比．
本题主要考查圆柱的体积与球的体积的比，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】43
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为2πω=3π2，
∴ω=43．
故答案为：43．
由题意，利用正弦函数的周期性，求出ω的值．
本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．
16.【答案】3
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程x=−1，
过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，
|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
则|AF|+|BF|≥|AB|，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
所以|AF|+|BF=|AA1|+|BB1|=x1+1+x2+1≥|AB|=8，
x1+x2≥6，
AB的中点到y轴的距离d=x1+x22≥3，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
即AB的中点到y轴距离的最小值为3．
故答案为：3．
根据三角形两边之和大于第三边，求出当A，B，F三点共线时，AB的中点到y轴距离的最小，由抛物线的定义即可求出最小值．
本题考查抛物线的定义，属中档题．
17.【答案】解：(1)证明：连接BC1，

∵P，Q分别为棱BC，CC1的中点，∴BC1//PQ，
∵棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，C1D1=AB=3，C1D1/​/AB，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1/​/AD1，
∴AD1//PQ．
(2)由题意得正方形BCC1B1的面积为3×3=9，
S△BB1P=S△C1B1Q=12×3×32=94，S△CPQ=12×32×32=98，
∴S△B1QP=9−94×2−98=278，
又AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥平面B1PQ，
三棱锥A−B1QP的体积为V=13S△B1QP⋅AB=13×278×3=278．
【解析】(1)作出辅助线，得到四边形ABC1D1为平行四边形，结合中位线证明出结论；
(2)求出底面积和高，利用锥体体积求出答案．
本题考查正方体结构特征、线线平行、三棱锥的体积公式等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)因为三角形ABC为等腰三角形，且csA=−23<0，
所以角A为钝角，则B=C，b=c，
所以csA=cs(π−2B)=−cs2B=2sin2B−1=−23，
则sin2B=16，所以sinB= 66或− 66(舍去)，
即sinB= 66；
(2)由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=2b2−252b2=−23，
解得b2=152，又sinA= 1−cs2A= 53，
所以三角形ABC的面积为S=12bcsinA=12×152× 53=5 54．
【解析】(1)由题意分析可得B=C，b=c，然后根据余弦的倍角公式化简即可求解；(2)利用余弦定理求出b2的值，再求出sinA的值，然后根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：f(x)=ax|x|+1(a≠0)的定义域为R，
且f(−x)=−ax|−x|+1=−ax|x|+1=−f(x)，故函数f(x)为奇函数；
(2)当a>0，x>0时，f(x)=ax|x|+1=axx+1=a(x+1)−ax+1=a−ax+1，
因为x>0，所以x+1>1,0由(1)知，函数f(x)为奇函数，
故当a>0，x<0时，f(x)∈(−a,0)，
又f(0)=0，故f(x)的值域为：(−a,a)．
【解析】(1)利用函数的奇偶性定义进行判断；
(2)先求出当a>0，x>0时，函数的值域，结合函数的奇偶性得到答案．
本题主要考查函数的奇偶性和函数的值域，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，
又M(x0,y0)是双曲线C：x2a2−y2=1上的一点，且||MF1|−|MF2||=2 3，
∴2a=2 3，∴a= 3，又b=1，∴c=2，
∴双曲线C的离心率为ca=2 3=2 33；
(2)由(1)可知F1(−2,0)，F2(2,0)，M(x0,y0)，
∴MF1=(−2−x0,−y0)，MF2=(2−x0,−y0)，
又M(x0,y0)是双曲线C：x23−y2=1上的一点，
∴x023−y02=1，∴x02=3(y02+1)，
∴MF1⋅MF2=x02−4+y02=3(y02+1)−4+y02<0，
∴4y02−1<0，∴y02<14，
∴y0∈(−12,12)，
故y0的取值范围为(−12,12).
【解析】(1)根据双曲线的定义及几何性质，即可求解；
(2)根据题意建立不等式，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，所以△ABC是边长为2的等边三角形，
连接AF，在等边△ABC中，F为BC中点，所以AF⊥BC，结合AD//BC，得AF⊥AD，
因为PA⊥底面ABCD，AF、AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AF，PA⊥AD，即AF、AD、AP两两垂直，
以AF、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
根据PA=AB=AD=2，得A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，

Rt△ABF中，AF= 32AB= 3，BF=CF=12AB=1，可得F( 3,0,0)，B( 3,−1,0)，C( 3,1,0)，
根据E为PB中点，得E( 32,−12,1)，根据H为PD中点，得H(0,1,1)．
设n=(x,y,z)为平面PCD的法向量，由PC=( 3,1,−2)，PD=(0,2,−2)，得n⋅PC= 3x+y−2z=0n⋅PD=2y−2z=0，
取y=3，得x= 3,z=3，n=( 3,3,3)是平面PCD的一个法向量，
设m=(a,b,c)为平面EFH的法向量，由EF=( 32,12,−1),EH=(− 32,32,0)，得m⋅EF= 32a+12b−c=0m⋅EH=− 32a+32b=0，
取a= 3，得b=1，c=2，m=( 3,1,2)是平面EFH的一个法向量，
设平面EFH与平面PCD所成二面角大小为θ，则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=3+3+6 3+9+9⋅ 3+1+4= 427．
所以平面EFH与平面PCD所成二面角的余弦值为 427；
(2)取CD的中点G，连接FG、HG，

因为EF是△PBC的中位线，所以EF/​/PC且EF=12PC，同理可得HG//PC且HG=12PC，
所以EF/​/HG且EF=HG，可知四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H四点共面于平面EFH，
延长GF，交AB的延长线于I，连接IE并延长，交PA于Q，连接QH，
因为I∈EG，EG⊂平面EFH，所以I∈平面EFH，结合E∈平面EFH，可知EI⊂平面EFH，
而Q∈IE，所以Q∈平面EFH，可得五边形EFGHQ为平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面．
过B作BM//PA，交IQ于点M，
由AB/​/CD，F为BC中点，可得△BFI≌△CFG，可得BI=CG=12CD，所以BI=12AB=13AI，
在△AIQ中，BM//AQ，可得BMAQ=BIAI=13，即BM=13AQ，
由BM//PQ，E为PB中点，可得△BME≌△PQE，可得BM=PQ，
所以PQ=13AQ，可得PQ=14PA，即PQPA的值为14．
【解析】(1)在菱形ABCD中，证出AF⊥AD，以AF、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，从而计算出各点的坐标，然后利用空间向量的数量积公式，列式算出平面EFH与平面PCD的法向量，并求出它们的法向量的夹角余弦值，可得答案；
(2)取CD的中点G，连接FG、HG，可证出四边形EFGH是平行四边形，然后延长GF，交AB的延长线于I，连接IE并延长，交PA于Q，连接QH，可得五边形EFGHQ为平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面，最后根据平面的基本性质与相似三角形的知识，求出PQPA的值．
本题主要考查利用空间坐标系求二面角的大小、平面的基本性质、相似三角形的判定与性质等知识，考查了计算能力、空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．学生学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
135
136
136
135
m+2
133
128
127
124
m