2022-2023学年新疆实验中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年新疆实验中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合P={x|−4A. {x|−4C. {x|−22.若aA. |a|<|b|B. a3−b3<0C. 3a>3bD. ln(b−a)>0
3.为了得到函数y=2sin(3x−π5)的图象，只要把函数y=2sin3x图象上所有的点( )
A. 向右平移π5个单位长度B. 向左平移π5个单位长度
C. 向右平移π15个单位长度D. 向左平移π15个单位长度个单位长度
4.已知a=0.30.3，b=lg30.2，c=30.2，则( )
A. a5.化简(3lg43+lg83)(lg32+2lg92)的值为( )
A. 53B. 73C. 83D. 113
6.设x∈R，则“csx=0”是“sinx=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
7.已知α∈(0,π2)，2sin2α=cs2α+1，则tan2α=( )
A. 13B. 23C. 1D. 43
8.若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x+1)>0的x的取值范围是( )
A. (−1,1)∪(3,+∞)B. (−3,−1)∪(0,1)
C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为12的是( )
A. sin5π6B. cs(−π3)C. 2−12D. 32tan240°
10.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p(x)(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且p(x)=−15x2+6x−20，利润率y=p(x)x.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( )
A. 此时获得最大利润率B. 再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C. 再投入1万元研发经费可获得最大利润率D. 再投入1万元研发经费才能获得最大利润
11.已知函数f(x)=|ax−1|(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)恒过定点(0,1)
B. 函数f(x)的值域为[0,+∞)
C. 函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增
D. 若直线y=2a与函数f(x)的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是(0,12)
12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递增，则下列结论错误的是( )
A. f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. f(x)最多一个零点
C. f(lg0.53)>f(lg25)
D. 若实数a满足f(2a)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=lga(2x−1)+2恒过定点______ ．
14.函数f(x)=|sin2x|的最小正周期是______ ．
15.已知tanα，tanβ是方程x2−5x+6=0的两根，则sin(α+β)cs(α−β)= ______ ．
16.设函数f(x)的定义域为A，若对于A内任意两个值x1，x2，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)具有T性质.给定四个函数①f(x)=3x+2②f(x)=x2③f(x)=ex④f(x)=lnx，则上述函数中具有T性质的函数序号是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知csα=−45，且α∈(0,π)．
(1)求sinα，tanα；
(2)求sin(π−α)+cs(−α)sin(2π+α)+sin(3π2+α)的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x2−9)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x<0时，求不等式|f(x)−2|<1的解集．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0，ω>0，0<φ<π2，f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3,−2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0,7π12]时，求f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin2x+sin2x− 3cs2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若f(x0)=65，x0∈[5π12,2π3]，求cs2x0的值．
21.(本小题12分)
已知函数y=ax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=axax+ 2．
(1)求f(x)+f(1−x)的值；
(2)求f(12023)+f(22023)+…+f(20222023)的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x，且y=f(x)的反函数为y=g(x)．
(1)求f(lg35)+g(36)−g(4)的值；
(2)若函数h(x)=[g(x)]2−2g(x)−k+4(k∈R)，问：h(x)是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数k的取值范围：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由集合P，Q，能求出P∪Q．
【解答】
解：∵集合P={x|−4Q={x|x2−x−6<0}={x|−2∴P∪Q={x|−4故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：对于A，当a=−2，b=−1时，|a|>|b|，故A不正确；
对于B，函数y=x3为R上的增函数，由a对于C，函数y=3x为R上的增函数，由a对于D，当b=2，a=1时ln(b−a)=0，故ln(b−a)>0不成立，D不正确．
故选：B．
通过举反例，判断出A项不正确；根据函数y=x3的单调性，判断B项的正误；利用指数函数、对数函数的性质，判定C、D的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查利用函数的单调性比较大小、不等式的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：为了得到函数y=2sin(3x−π5)的图象，只要把函数y=2sin3x图象上所有的点向右平移π15个单位长度即可．
故选：C．
直接利用函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：0b=lg30.2c=30.2>30=1，
故b故选：D．
根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：(3lg43+lg83)(lg32+2lg92)=(32lg23+13lg23)(lg32+lg32)=116lg23⋅(2lg23)=113．
故选：D．
由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．
本题主要考查了对数的换底公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由csx=0，得x=π2+kπ,k∈Z，
由sinx=1，得x=π2+2kπ,k∈Z，
又{x|x=π2+2kπ,k∈Z}⊆{x|x=π2+kπ,k∈Z}，
所以“csx=0”是“sinx=1”的必要不充分条件．
故选：B．
分别解出csx=0、sinx=1，结合充分、必要条件的定义即可求解．
本题在考查三角函数的同角公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为2sin2α=cs2α+1，
所以2⋅2sinαcsα=2cs2α，
又因为α∈(0,π2)，所以csα≠0，
所以2sinα=csα，
所以tanα=12，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×121−14=43．
故选：D．
利用二倍角公式化简2sin2α=cs2α+1，求出tanα，再计算tan2α的值．
本题考查了二倍角的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，
因为f(2)=0，
所以f(−2)=−f(2)=0，
则xf(x+1)>0可得x>0f(x+1)>0或x<0f(x+1)<0，
即x>00解得0故选：B．
结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：A，sin5π6=sin(π−π6)=π6=12，正确；
B，cs(−π3)=csπ3=12，正确；
C，2−12= 22，错误；
D， 32tan240°= 32tan(180°+60°)= 32tan60°= 32× 3=32，错误．
故选：AB．
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：当x≤16时，p(x)=−15x2+6x−20=−15(x−15)2+25，
故当x=15时，获得最大利润，为p(15)=25，故B正确，D错误；
y=p(x)x=−15x+6−20x=−(15x+20x)+6≤−2 15x⋅20x+6=2，
当且仅当15x=20x，即x=10时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误．
故选：BC．
结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解．
本题考查二次函数的最值和基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为f(0)=0，即函数f(x)恒过定点(0,0)，A错误；
由ax>0可知，ax−1>−1，
所以f(x)≥0，B正确；
当0若直线y=2a与函数f(x)的图像有两个公共点，则0<2a<1，即0故选：BD．
结合函数图象变换及指数函数的性质检验各选项即可判断．
本题综合考查了指数函数图象的变换及指数函数的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递增，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，A错误；
根据偶函数的对称性可知，函数有可能有2个零点，B错误；
因为f(lg0.53)=f(lg23)且lg25>lg23>0，
所以f(lg25)若f(2a) 2，即a>12，D错误．
故选：ABD．
结合函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】(1,2)
【解析】解：令2x−1=1，
得x=1，
此时y=2，
故函数恒过点(1,2)，
故答案为：(1,2)．
根据y=lgax恒过定点(1,0)可得．
本题主要考查指数函数的性质，根据y=lgax恒过定点(1,0)是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】π2
【解析】解：∵y=sin2x中的ω=2，
∴T=2π2=π，
则函数f(x)=|sin2x|的最小正周期T′=T2=π2．
故答案为：π2
先求y=sin2x的周期，找出ω的值，代入周期公式T=2π|ω|求出y=sin2x的周期T，再由T′=T2即可求出f(x)的周期．
此题考查了三角函数的周期性及其求法，能够找出y=sin2x与y=|sin2x|两函数周期间的关系是解本题的关键．
15.【答案】57
【解析】解：由题意可得tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，
所以sin(α+β)cs(α−β)=sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=51+6=57．
故答案为：57．
利用韦达定理以及两角和与差的三角函数公式，弦化切化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到韦达定理以及弦化切的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】①④
【解析】解：因为对于A内任意两个值x1，x2，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，
所以函数f(x)在A内为凸函数或直线类的函数，
①f(x)=3x+2图象为直线，满足；
②f(x)=x2为下凹函数，不满足；
③f(x)=ex为下凹函数，不满足；
④f(x)=lnx为凸函数，满足．
故答案为：①④．
根据函数的凹凸性判断即可．
本题考查了函数的凹凸性，掌握初等函数的图象是关键，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为csα=−45<0，且α∈(0,π)，
所以α∈(π2,π)，
所以sinα= 1−cs2α=35，tanα=sinαcsα=−34；
(2)sin(π−α)+cs(−α)sin(2π+α)+sin(3π2+α)=sinα+csαsinα−csα=−17．
【解析】(1)由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)利用诱导公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数的定义域满足x2−9>0，可得x>3或x<−3，
所以函数的定义域为(3,+∞)∪(−∞,−3)，
令u=x2−9，则u在(3,+∞)上单调递增，在(−∞,−3)上单调递减，
g(u)=lg2u在u>0上单调递增，
由复合函数的单调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞)；
(2)因为f(x)−2=lg2(x2−9)−2=lg2x2−94，
由|f(x)−2|<1，
可得−1即x2−94>12x2−94<2x<0，解得− 17所以不等式的解集为(− 17,− 11).
【解析】(1)求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间；
(2)由对数运算性质，可得不等式的解集．
本题考查复合函数的单调性的应用及对数不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意知，A=2，T=π，
∴ω=2，
又图象上一个最低点为M(2π3,−2)，
∴2×2π3+φ=2kπ−π2，k∈Z，
∵0<φ<π2，
∴φ=π6，
∴f(x)=2sin(2x+π6)；
(2)∵x∈[0,7π12]，
∴2x+π6∈[π6,4π3]，
∴− 32≤sin(2x+π6)≤1，
∴− 3≤f(x)≤2，即f(x)的值域为[− 3,2]．
【解析】(1)由题意知，A=2，T=π，可求得ω，由图象上一个最低点为M(2π3,−2)，可求得φ，即可得解；
(2)由题意可得2x+π6∈[π6,4π3]，利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的值域．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了整体思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2x+sin2x− 3cs2x=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)若f(x0)=65，x0∈[5π12,2π3]，
则2sin(2x0−π3)=65，即sin(2x0−π3)=35，
因为x0∈[5π12,2π3]，
所以π2≤2x0−π3≤π，cs(2x0−π3)=−45，
所以cs2x0=cs(2x0−π3+π3)=12cs(2x0−π3)− 32sin(2x0−π3)=−4−3 310．
【解析】(1)先用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
(2)结合同角基本关系及两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数y=ax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值之和为20，
而函数y=ax在[2,4]上是单调函数，
所以a2+a4=20，解得a2=4，a=2或−2(舍)，
所以a=2，
f(x)=axax+ 2=2x2x+ 2，
所以f(x)+f(1−x)=2x2x+ 2+21−x21−x+ 2
=2x2x+ 2+22x×2x2+ 2×2x
=2x2x+ 2+22+ 2×2x
=2x2x+ 2+ 2 2+2x
=1；
(2)由(1)可知f(x)+f(1−x)=1，
所以f(12023)+f(22023)+…+f(20222023)=[f(12023)+f(20222023)]+[f(22023)+f(20212023)]+…+[f(10112023)+f(10122023)]=1×1011=1011．
【解析】(1)由题意可求得a=2，从而得f(x)=2x2x+ 2，再代入计算即可；
(2)利用(1)的结论计算即可．
本题考查了指数函数的性质、指数基本运算，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=3x，且y=f(x)的反函数为y=g(x)=lg3x，
所以f(lg35)+g(36)−g(4)=3lg35+lg336−lg34=5+lg3364=5+2=7；
(2)令t=lg3x∈R，
假设函数有零点，则方程t2−2t−k+4=0有解，即Δ=4−4(−k+4)≥0，
解得k≥3，
即k>3时，方程t2−2t−k+4=0有两个不同的根为t=1± k−3，
即lg3x=1± k−3，
解得x=31± k−3，
即k=3时，方程t2−2t−k+4=0的根t=1，即1=lg3x，解得x=3
综上所述：k>3时，函数的零点31+ k−3，31− k−3；
k=3时，函数的零点3．
【解析】(1)求出f(x)的反函数g(x)的解析式，再由指数函数的运算性质及对数函数的性质的应用，可得代数式的值；
(2)换元，由函数的零点与方程根之间的关系，可得k的不同范围，可得函数的零点．
本题考查分类讨论的思想，函数的反函数的求法，对数运算的性质的应用，函数的零点的求法，属于中档题．

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