2024年新高中考试数学解答题模拟训练——导数（答案版）

这是一份2024年新高中考试数学解答题模拟训练——导数（答案版），共74页。试卷主要包含了已知函数，为的导数.，已知函数，是其导函数，其中，已知函数.，已知函数，，已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.
【详解】（1）由，
设，则，
当时，设，，
∵，，
∴和在上单调递增，
∴，，
∴当时，，，
则，
∴函数在上单调递增，
∴，
即当时，;
（2）由已知得，
①当时，
∵，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
②当时，
设，则，
∴在上单调递减，
∴，
∴，
∴，
∴在上单调递减，
又∵，，
∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
综上所述，有且仅有2个零点.
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，是其导函数，其中．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；
（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.
【详解】（1）解：，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
所以a的取值范围为；
（2）解：由得，
即对恒成立，
令，
，
当时，，不满足；
当时，时，，时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，不符合题意；
当时，时，，时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，解得，
综上所述，a的取值范围.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.
3．（2023春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)答案见解析
(3).
【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果；
（2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果；
（3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.
【详解】（1）因为
则，即，所以，经检验符合题意
（2），则.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）当时，由可得，令，其中，
则直线与函数在上的图像有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程；
(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；
(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；
（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；
（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.
【详解】（1）解：由题意得：
，
故曲线在点处的切线的方程.
（2）由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，
故①且，解得
②且，解得
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
综上：的取值范围为.
（3）可以分三种情况讨论：①②③
若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；
若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值,故的取值范围.
若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；
综上所述函数存在最小值， 的取值范围.
5．（2023春·黑龙江·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的极值点的个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）的极值点的个数等价于的解的个数，分离参数得，构造函数，求导分析，作出其图象，数形结合可得的极值点的个数；
（2）由（1）可知，设，则，由得，取对数得，同理，进一步分析可得.最后利用分析法与换元法，将问题转化证明，即可.
【详解】（1）解：由题意得，，即，故令，
所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数.
，
得；得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以的大致图象如图：
由图可得，
当时，恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；
当时，与的交点个数有两个，分别设为且，
当时，，时，，故函数有两个极值点；
当时，与的交点个数有两个，不妨设为 ，则当，，当时，，故函数有1个极值点.
（2）证明：因为函数f（x）有两个极值点，由（1）可知
设，则，显然，
所以，由极值点的概念知， ，故，
所以，
同理，
两式相减得，即.
另一方面，要证，只需证，即
因为，所以，
故上式可化为，即
令，则，上式即为，.
令，
则，故为减函数，
所以，即，原命题得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式；考查分类讨论思想，运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得，进而根据极值点的导数值为0等价转换得，进而将问题转化为，再结合换元法证明，即可.
6．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：.
【答案】(1)单调递增区间为、，递减区间为；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；
（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.
【详解】（1）当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以函数的单调递增区间为、，递减区间为；
（2），
因为函数恰有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，
设为且，因为函数当时图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
于是有，因为，所以，
所以，而，
所以
设，，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最小值，即，
因此有，即.
【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键.
7．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
8．（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
(1)求的单调区间；
(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.
【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)4
【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；
（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.
【详解】（1），由已知得，
得，解得．
于是，
由，得或，由，得，
可知是函数的极大值点，符合题意，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）知，
因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
又，
所以的最大值为，解得.
9．（2023春·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知函数，其中．
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)不存在极大值；存在极小值，且极小值为；
(2)见解析
【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出极值；
（2）求导，讨论和的大小关系，得出函数的单调性．
【详解】（1）若，则，，
，令，得．
当时，；当时，．
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
不存在极大值；存在极小值，且极小值为．
（2），．
①若，即，则令，得．
当时，；当时，．
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
②若，即，则令，得或．
此时，的单调性如下表所示：
③若，则当时，，当且仅当时，等号成立．
此时，在区间上单调递增．
④若，即，则令，得或．
此时，的单调性如下表所示：
综上：时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
时，在区间上单调递增
时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
【点睛】关键点睛：在判断函数的单调性时，关键在于讨论和的大小关系，利用导函数的正负来判断单调性.
10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据，，成等差数列结合三角恒等变换可得，由正弦定理即可求得的值；
（2）由（1）得，根据锐角三角形结合余弦定理可得的取值范围，将转化为，令，设根据函数单调性确定函数取值范围，即得的取值范围.
【详解】（1）由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
11．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，然后对参数进行分类讨论.
（2）利用求导及零点定理及构造法解函数不等式.
【详解】（1）因为，
所以
①若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增
②若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；
③若，则，在上单调递增；
④若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
（2）因为，所以，即
，
设
则，易知在上单调递增
因为，所以，
所以存在，使得
所以，在上单调递减，在上单调递增
所以
设，则，在上单调递增，所以
所以，即.
12．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）已知函数，.
(1)当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
(2)若没有零点，求的取值范围.
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；
②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点；
（2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意.
【详解】（1）若，则，.
①在处，，.
所以曲线在处的切线方程为.
②令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，
所以在上有唯一零点.
列表得：
所以在上有唯一极大值点.
（2），
令，则.
①若，则，在上是增函数.
因为，，
所以恰有一个零点.
令，得.
代入，得，
解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
(2)若在上有最大值，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，即可求得实数的值；
（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用函数的最值与极值的关系可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数的定义域为，
，
由已知可得，解得.
（2）解：因为，令.
①当时，对任意的，恒成立，则，
此时函数在上单调递减，没有最大值；
②当时，在上单调递减，则，则，
此时函数在上单调递减，没有最大值；
③当时，方程的两根分别为，，
由可知，列表如下：
所以函数在处取得最大值，
综上所述，实数的取值范围是.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求证：；
(2)若函数无零点，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.
（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.
【详解】（1），
则当时，，当时，，
故在上为增函数，在上减函数，
故即.
（2），故，
当时，在定义域上无零点;
当时，，故，
所以当时，，当时，，
故在上为增函数，在上减函数，
因为函数无零点，故，即；
当时，因为，所以，
即，
所以在定义域上无零点.
综上，的取值范围是.
15．（2023·河北·校联考一模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】（1）当时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即，，时，，即可得到答案.
（2）根据题意有不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，
①若，不等式（*）显然成立，此时
②若时，不等式（*）等价于.求出的最小值即可得到答案.
【详解】（1），
∵，所以是的一个零点．
又令，，则，，时，
∴在，单调递减；在单调递增
（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．
令，则等价于不等式恒成立，
①若，不等式（*）显然成立，此时
②若时，不等式（*）等价于
设，当时，，
令，则，，
∵，∴在上单调递减，在单调递增，
∴
∴，在单调递增，
∴
综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．
16．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；
（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.
【详解】（1）.
当时，，令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当，即时，恒成立，所以在上单调递增.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：由题意得，.
要证，
只需证，
即证，
即证.
令，
所以只需证在上恒成立，
即证在上恒成立.
令，则，
令，则.
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以.
所以.
17．（2023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；
（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．
【详解】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【分析】（1）令，利用导数分析其单调性求出最大值即可证明；
（2）令，通过求导分析单调性，结合的单调性从而证明结结论．
【详解】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
19．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)递减区间是；递增区间是，
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；
（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数，可得，
因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，
可得，即，解得，
所以，可得，
令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下：
所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．
（2）解：由函数，，
则，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使得有三个零点，则满足，即，解得，
所以的取值范围为．
20．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（a∈R且a≠0）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求解不等式或的解集作答.
（2）利用方程根的意义求出的关系等式，再变形换元，构造函数并借助函数单调性推理作答.
【详解】（1）函数定义域为，求导得，
当时，恒成立，即在上单调递增，
当时，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的递增区间是，当时，递减区间是，递增区间是.
（2）当a＝2时，方程，即为，依题意，，且，
两式相减，得，即，则，
令，有，，从而得，
令，求导得，
即函数在上单调递增，，，即，而，
因此，恒成立，
所以．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
【答案】(1)的单增区间为；单减区间为，
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）若选①，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；
若选②，首先根据函数有两个极值点，证得，，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明.
【详解】（1），
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以的单增区间为；单减区间为，．
（2）证明①：由题意知，是的两根，则，
，
将代入得，，
要证明，
只需证明，
即，
因为，所以，
只需证明，
令，则，只需证明，即，
令，
，
所以在上单调递减，可得，
所以，
综上可知，．
证明②：
设，
因为有两个极值点，所以，
解得，
因为，
所以，
，
由题意可知，
可得代入得，，
令，
，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调速增，
因为，所以，
由，
可得，所以，
所以，
所以，即．
22．（2023·天津河北·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
【答案】(1)；
(2)递减区间是，递增区间是；
(3)3.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数求出的单调区间作答.
（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）函数的定义域是，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
23．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
【答案】(1)
(2)①;②详见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得.
设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
【详解】（1）时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.
（2）①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由①可知，当时，，即，整理得，
所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，
即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.
24．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数存在两个极值点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；
（2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.
【详解】（1）由题意知：定义域为，；
令，则有两个不等正根，
，解得：，实数的取值范围为.
（2）由（1）知：，是的两根，则；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
即的最小值为.
25．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明: .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；
（2）计算，构造函数，，求出，对再一次求导（需引入新函数），确定的单调性后得其正负，从而确定的单调性，得证结论成立．
【详解】（1），
若，，即，此时在R上单调递减．
若，解得，
解得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵，
设， ，
设 ，
∴在上单调递增，，．
∴，在上单调递增．
∴．
∴．
26．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；
（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.
【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.
（2）解：对恒成立
令，，
，在上单调递减，
，
若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.
若，即时，
（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.
（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.
综上：实数的取值范围为.
27．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；
(2).
【分析】（1）根据函数的导数与函数单调性的关系即得；
（2）由题可得，然后利用参变分离可得在上恒成立，构造函数利用导数求函数最值即得.
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
∴，由，得，
当时，，故在上是增函数，
当时，，故在上是减函数，
∴的单调增区间为，单调减区间为；
（2）由，得，
∴，
∴，由在上恒成立，
得在上恒成立，
令，，可得，，
令，得，令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，也是最小值，即，
∴的取值范围是．
28．（2023春·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）已知函数．
(1)当时，求的极值．
(2)讨论的单调性；
(3)若，证明：．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求解极值即可；
（2）利用导数分类讨论求解单调性即可.
（3）首先将题意转化为证明证，当时，不等式显然成立．当时，转化为证明，再构造函数利用导数求最值即可.
【详解】（1）当时，，
则，
令，得，
所以的极大值为，无极小值．
（2）的定义域为，
对于二次方程，有．
当时，恒成立，在上单调递减．
当时，方程有两根，
若，
在上单调递增，在上单调递减；
若，
在与上单调递减，
在上单调递增．
（3）要证，即证，
因为，所以．
当时，不等式显然成立．
当时，因为，所以只需证，
即证．
令，则，
由得；由，得．所以在上为增函数，在上为减函数，所以．
，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以，
所以恒成立，即．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解；
（2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明.
【详解】（1）解：由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
（2）证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．
设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.
30．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；
（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.
【详解】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，则，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.
31．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考期中）已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.
【详解】（1）解：函数的定义域为，
当时，，
则，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
所以，
所以当时，求的最大值为；
（2）解：函数，
则，，，
①若，则，所以在上单调递增，
故，不符合题意；
②若，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
则，
令，可得，
解得，
因为，
所以符合题意，
综上所述.
32．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.
【详解】（1）因为，
所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以.
（3）满足条件的的最大整数值为.
理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立.
令，
当时，，所以恒成立.
当时，令，，，
与的情况如下：
所以，
当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，
所以的值域为，
因为，所以的最小值小于且大于.
所以的最大整数值为.
33．（2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
34．（2022春·北京·高二北理工附中校考期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可
(1)
依题意知，，
令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
(2)
依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，
故原不等式成立.
35．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求导，再对分和两种情况即得函数的单调性；
（2）分析得到所以，，再化简得到，构造函数，得到，不等式即得证.
【详解】（1）．
因为.
当时，，此时在上单调递减；
当时，由解得或，
∵是增函数，
∴此时在和单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，∴，所以，所以，
∵，∴，
，
令，
∴，
∴在上是减函数，，
∴，即．
所以原不等式得证.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
36．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；
（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验的取值下在处是否取极大值，由此确定出的值；
（1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处取极大值，所以，所以，所以
当时，，
所以在处取极大值，符合题意；
（2）当时， ，．
又因为对，不等式，所以时，，
所以时，，
令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，
故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，
当时，，所以在上单调递增，且，
所以当时，，这与题意不符；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，所以，
记，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
又因为，即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．
【答案】(1)极大值，极小值0
(2)，的最大值为0，
【分析】（1）由极值的概念求解，
（2）根据的取值分类讨论求解的单调区间后得，再由导数判断单调性后求解最大值，
【详解】（1）当时，，
，
当或时，，
当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
（2），，
当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为，
当时，当或时，，
当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
在区间上的最小值为，
当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减，
若，在区间上的最小值为，
若，在区间上的最小值为
综上，
令，则 ，
故在上单调递增，
可知在上单调递增，故的最大值为0，
38．（2023·广东·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程.
（2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围.
【详解】（1）当时，．
故切线的斜率，又切点为
切线方程为，化简得．
（2）法1：当时，恒成立，故，
也就是，即，
由得，令，
则，
令，则，
可知在单调递增，则，即在恒成立，．
故在单调递增，所以，故在恒成立．
所以在单调递增，而，所以，故．
法2：因为当时，恒成立，故，
由，
令，得或，
①当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
不合题意，合题意．
②当，即时，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，
，
设，则恒成立，
在上单调递减，故即，合题意．
综上，．
法3：因为当时，恒成立，也就是，
即恒成立，令，
令，
恒成立，在上单调递增．
．
①当，即时，在上单调递增，
，合题意；
②当，即时，，
因为，，
存在，使得，即．
在上单调递减，在上单调递增．
，不合题意．
综上，．
【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值，或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值.
39．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.
【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.
(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.
②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.
【详解】（1）因为，所以
因为，所以
（2）①的定义域是，
令，则.
设,因为在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上有唯一的零点，|
所以有有唯一解，不妨设为.
与的情况如下,
所以有唯一的极值点.
②由题意，，则
若存在a，使，则，所以
因为在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾.
所以，不存在,使得.
40．（2022·江西新余·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设为两个不等的正数，且（），若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）首先对函数求导，令导数大于零，求得增区间，令导数小于零，求得减区间；
（2）令，将式子转化为，实数满足且不等式恒成立，由及（1）知，利用函数在单调递减，构造新函数，求导，分情况讨论求得结果.
(1)
因为，
所以当在上单调递增，
当在上单调递减．
(2)
令，
则，
依题意得实数满足且不等式恒成立，
由及（1）知，
法1：不等式恒成立知，所以，∴，
又函数在单调递减，∴，
又，所以，即，
两边取对数得对恒成立，
设，
则，
①当时，对恒成立，
此时在上单调递增，故恒成立，符合题意，
②当时，，则，
此时在上单调递减，故，不符合题意．
综上所述，．
法2：由
令，则，
所以不等式
令，依题意恒成立．
①当时，递增，从而，
所以在上递增，故恒成立．
②当时，由得，所以在上递减，
所以在上递减，
故，不合题意．
③当时，由知，不合题意．综上所述，．
x
1
+
0
0
+
极大值
极小值
x
1
+
0
0
+
极大值
极小值
+
-
极大值
增
极大值
减
－1
＋
0
－
0
＋
2
2
+
0
-
单调递增
单调递减
1
+
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
+
0
-
增
极大值
减