青海省西宁市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份青海省西宁市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）对于任意实数k，关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．无实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
3．（2分）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流B．大漠孤烟直
C．手可摘星辰D．红豆生南国
4．（2分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O旋转180°后，所得到的对应点P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
5．（2分）如图，⊙O的半径为8，直角三角板30°角的顶点A落在⊙O上，两边与⊙O分别交于B，C两点，则弦BC的长为（ ）
A．4B．C．8D．
6．（2分）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝1，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，连接BB′，若以点A′为圆心，A′B′长为半径的圆与BB′相切，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A′B′B＝90°B．∠ACA′＝60°
C．△CBB′是等边三角形D．A′B＝2
8．（2分）抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A（5，0），且a＜0，下列结论正确的是（ ）
A．当x＜2时，y随x的增大而减小
B．抛物线与y轴的交点坐标是（0，k）
C．4a+k＞0
D．函数值y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜5
二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分.）
9．（2分）正六边形的中心角是 ．
10．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 ．
11．（2分）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是1﹣40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，则b的值是 ．
13．（2分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为 ．
14．（2分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
15．（2分）某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件100件，第三天揽件144件，则该快递店揽件的日平均增长率为 ．
16．（2分）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m．
17．（2分）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 ．
18．（2分）如图，正方形AOBC的边OB，OA分别在x轴和y轴上，点A（0，4），点D（4，3）在BC边上，将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于点M，则点M的坐标是 ．
三、解答题（本大题共9题，共64分.第19题4分，第20、21、22、23、24、25题7分，第26题8分，第27题10分.解答题必须写出必要的文字说明、演算.）
19．（4分）解方程：2x2﹣4x＝3﹣8x．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）点B的对应点B2的坐标为 ．
21．（7分）双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次转转盘抽奖金的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成4个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止），参照如表获得对应的奖金．
（1）甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是 ；
（2）乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况．
22．（7分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动，经过多长时间△PBQ的面积是4cm2？
23．（7分）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度y（单位：m）与小球运动的时间x（单位：s）之间的函数图象是如图所示的抛物线．
（1）小球从抛出到落地经过的路程是 m；
（2）求y与x（0≤x≤6）之间的函数关系式．
25．（7分）如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝120°，，求图中阴影部分的面积．
26．（8分）在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题．
例：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
（将下列解题过程补充完整）
（1）解：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴C，D两点都在⊙A上．
∵，∠BAC＝90°，
∴∠BDC＝ °（ ）．
【初步应用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数．
【方法迁移】
（3）如图③，已知线段AB和直线l，在直线l上求作一点P，使∠APB＝30°，用直尺和圆规在l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标，并直接写出抛物线在直线BC下方时自变量x的取值范围；
（3）过A，B两点的⊙M与抛物线在第一象限交于点D，且∠DMB＝90°，求点M的坐标．
2023-2024学年青海省西宁市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8题，每题2分，共16分。）
1．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解．
【解答】解：A．图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是中心对称图形，符合题意；
C．图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．
2．（2分）对于任意实数k，关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．无实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+4，根据非负数的性质得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）
＝k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2分）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流B．大漠孤烟直
C．手可摘星辰D．红豆生南国
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意；
B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意；
D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
4．（2分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O旋转180°后，所得到的对应点P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
5．（2分）如图，⊙O的半径为8，直角三角板30°角的顶点A落在⊙O上，两边与⊙O分别交于B，C两点，则弦BC的长为（ ）
A．4B．C．8D．
【分析】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接OC，OB，
∵＝，∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
又∵OC＝OB＝8，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC＝8，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
6．（2分）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，如图，先根据垂径定理得到DF＝CF＝3，AH＝BH＝3，则EH＝2，再证明Rt△OBH≌Rt△OCF得到OH＝OF，然后证明四边形OHEF为正方形，从而得到OE＝EH．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，如图，则DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，
∵AE＝1，
∴EH＝AH﹣AE＝2，
在Rt△OBH和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），
∴OH＝OF，
∵CD⊥AB，
∴∠HEF＝90°，
∵∠OHE＝∠OFE＝90°，
∴四边形OHEF为正方形，
∴OE＝EH＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝1，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，连接BB′，若以点A′为圆心，A′B′长为半径的圆与BB′相切，则下列结论错误的是（ ）
A．∠A′B′B＝90°B．∠ACA′＝60°
C．△CBB′是等边三角形D．A′B＝2
【分析】先根据切线的性质得到A′B′⊥BB′，则可对A选项进行判断；再根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′＝3，A′B′＝AB＝1，∠ACA′＝∠BCB′，∠A′B′C＝∠ABC＝150°，则可计算出∠CB′B＝60°，于是可判断△CBB′为等边三角形，则可对C选项进行判断；接着根据等边三角形的性质得到BB′＝CB＝3，∠BCB′＝60°，所以∠ACA′＝60°，于是可对B选项进行判断；然后在Rt△A′B′B中利用勾股定理计算出A′B，从而可对D选项进行判断．
【解答】解：∵以点A′为圆心，A′B′长为半径的圆与BB′相切，
∴A′B′⊥BB′，
∴∠A′B′B＝90°，所以A选项不符合题意；
∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′＝3，A′B′＝AB＝1，∠ACA′＝∠BCB′，∠A′B′C＝∠ABC＝150°，
∴∠CB′B＝∠A′B′C﹣∠A′B′B＝150°﹣90°＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，所以C选项不符合题意，
∴BB′＝CB＝3，∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，所以B选项不符合题意；
在Rt△A′B′B中，A′B＝＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和旋转的性质．
8．（2分）抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A（5，0），且a＜0，下列结论正确的是（ ）
A．当x＜2时，y随x的增大而减小
B．抛物线与y轴的交点坐标是（0，k）
C．4a+k＞0
D．函数值y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜5
【分析】根据抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，由函数的性质可以判断A；令x＝0，求出y，即可得出抛物线与y轴的交点坐标，从而可以判断B；根据抛物线经过点A（5，0）得出9a+k＝0，再根据a＜0，从而可以判断C；根据抛物线与x轴的交点以及函数的性质可以判断D．
【解答】解：∵y＝a（x﹣2）2+k，且a＜0，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
故A错误；
令x＝0，则y＝4a+k，
∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，4a+k），
故B错误；
∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A（5，0），
∴9a+k＝0，
∴4a+k＝﹣5a，
∵a＜0，
∴4a+k＞0，
故C正确；
∵抛物线经过（5，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向下，
∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＞5或x＜﹣1，
故D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解答此题的关键熟练掌握二次函数的对称轴、与x轴的交点，函数的增减性．
二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分.）
9．（2分）正六边形的中心角是 60° ．
【分析】根据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷6＝60°．
【解答】解：正六边形的中心角是：360°÷6＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
10．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【解答】解：把0代入方程有：
a2﹣4＝0，
a2＝4，
∴a＝±2；
∵a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．
11．（2分）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是1﹣40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 ③ （填序号）．
【分析】分别求出3个事件的概率即可求解．
【解答】解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
∵，
∴发生可能性最小的事件为为③．
故答案为：③．
【点评】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，则b的值是 ﹣1 ．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，利用根与系数的关系，即可求得b的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，
∴x1+x2＝b＝1﹣2＝﹣1，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，则x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
13．（2分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为 y＝2（x﹣3）2 ．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为：y＝2（x﹣3）2，
故答案为：y＝2（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．（2分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 8 米．
【分析】令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，求出x值，进而求解．
【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴则EF＝4﹣（﹣4）＝8（米）．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．
15．（2分）某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件100件，第三天揽件144件，则该快递店揽件的日平均增长率为 20% ．
【分析】设该快递店揽件的日平均增长率为x，利用该快递店第三天的揽件数量＝该快递店第一天的揽件数量×（1+该快递店揽件的日平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该快递店揽件的日平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴该快递店揽件的日平均增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2分）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到AB＝m，设圆锥的底面圆的半径为r m，利用弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：∵BC＝2m，∠BAC＝90°，
∴AB＝m，
设圆锥的底面圆的半径为r m，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
即圆锥的底面圆的半径为m．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2分）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 40°或100° ．
【分析】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
【解答】解：如图：
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°，
Rt△OPB中，OB＝2OP，
∴∠A′BO＝30°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABA′＝40°；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时，
同①，可求得∠A′BO＝30°；
此时∠ABA′＝70°+30°＝100°，
故旋转角α的度数为40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】此题主要考查的是切线的性质以及旋转的性质，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．
18．（2分）如图，正方形AOBC的边OB，OA分别在x轴和y轴上，点A（0，4），点D（4，3）在BC边上，将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于点M，则点M的坐标是 （2.4，0） ．
【分析】连接DM，证明△D′AM≌△DAM，得出D'M＝DM，设OM＝x，则D'M＝DM＝1+x，然后根据勾股定理即可解答．
【解答】解：连接DM，
∵将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AOD′，
∴AD'＝AD，D'O＝CD，
∵AM平分∠DAD′交OB于点M，
∴∠D'AM＝∠DAM，
∵AM＝AM，
∴△D′AM≌△DAM，
∴D'M＝DM，
∵点A（0，4），点D（4，3），四边形AOBC是正方形，
∴OA＝BC＝4，BD＝3，CD＝1，
设OM＝x，则D'M＝DM＝1+x，BM＝4﹣x，
∴DM2＝BM2+BD2，
∴（1+x）2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝2.4，
∴M的坐标为（2.4，0），
故答案为：（2.4，0）．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
三、解答题（本大题共9题，共64分.第19题4分，第20、21、22、23、24、25题7分，第26题8分，第27题10分.解答题必须写出必要的文字说明、演算.）
19．（4分）解方程：2x2﹣4x＝3﹣8x．
【分析】整理后方程两边除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：2x2﹣4x＝3﹣8x，
整理得：2x2+4x＝3，
x2+2x＝，
配方，得x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
开方得：x+1＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确配方得出（x+1）2＝是解此题的关键．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）点B的对应点B2的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
21．（7分）双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次转转盘抽奖金的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成4个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止），参照如表获得对应的奖金．
（1）甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是 0 ；
（2）乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况．
【分析】（1）由题意可知，甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，则他获得奖金的概率是0．
（2）列表得出所有等可能的结果数以及乙顾客两次共获得100元奖金的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵300元＜500元，
∴甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，
∴他获得奖金的概率是0．
故答案为：0．
（2）列表如下：
由表格可知，共有16种等可能的结果，获得的奖金分别为：20元，30元，60元，90元，30元，40元，70元，100元，60元，70元，100元，130元，90元，100元，130元，160元．
其中乙顾客两次共获得100元奖金的结果有：（蓝，红），（黄，黄），（红，蓝），共3种，
∴乙顾客两次共获得100元奖金的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（7分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动，经过多长时间△PBQ的面积是4cm2？
【分析】当运动时间为t（0≤t≤3）时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积是4cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：5÷1＝5（s），6÷2＝3（s）．
当运动时间为t（0≤t≤3）时，AP＝t cm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm，
根据题意得：BP•BQ＝4，
即（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）．
答：经过1s△PBQ的面积是4cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（7分）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度y（单位：m）与小球运动的时间x（单位：s）之间的函数图象是如图所示的抛物线．
（1）小球从抛出到落地经过的路程是 80 m；
（2）求y与x（0≤x≤6）之间的函数关系式．
【分析】（1）依据题意，由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m，进而得解；
（2）依据题意，设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，又图象过（0，0），从而列式计算可以得解．
【解答】解：（1）由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m．
故答案为：80．
（2）由题意，设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
又图象过（0，0），
∴a（0﹣3）2+40＝0．
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
25．（7分）如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝120°，，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据等腰三角形的性质，证得AO平分∠BAC，根据角平分线的性质，即可证得OD＝OE，即可证明AC是切线；
（2）根据阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△OBD的面积﹣△OCE的面积﹣扇形DOE的面积，计算即可．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝120°，，
∴∠BAO＝CAO＝60°，
∴∠AOD＝∠AOE＝30°，
∴OA＝2AD＝2，
∴OD＝OE＝3，
∴OB＝OC＝6，
∴BC＝2OC＝12，
∴CE＝BD＝3，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△BDO﹣S△ECO﹣S扇形DOE
＝×﹣×﹣×﹣
＝12﹣9﹣
＝4﹣．
【点评】本题主要考查了切线的性质和判断、等腰三角形的性质、扇形的面积公式的综合运用．熟练掌握证明切线的方法是解决此类问题的关键，证明切线的方法：连半径，证垂直；作垂直，正半径．
26．（8分）在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题．
例：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
（将下列解题过程补充完整）
（1）解：以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴C，D两点都在⊙A上．
∵，∠BAC＝90°，
∴∠BDC＝ 45 °（ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）．
【初步应用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数．
【方法迁移】
（3）如图③，已知线段AB和直线l，在直线l上求作一点P，使∠APB＝30°，用直尺和圆规在l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）利用对角互补的四边形内接于圆的性质，得到A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上，作出该圆，再利用圆周角定理解答即可；
（3）作出线段AB的垂直平分线，得到等边△OAB，以O为圆心，OA为半径画⊙O，⊙O与直线l交于两点即为所求．
【解答】解：（1）以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，如图，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴C，D两点都在⊙A上．
∵，∠BAC＝90°，
∴∠BDC＝45°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
故答案为：45；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上，
以BD为直径作出⊙O，如图，
∵，
∴∠BAC＝∠BDC＝24°．
（3）①作出线段AB的垂直平分线EF，
②以B为圆心，以AB为半径画弧交EF于点O，连接OA，OB，得等边三角形OAB，
③以O为圆心，OA为半径画⊙O，⊙O与直线l交于两点，
则这两点为所有符合条件的点P．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键．
27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标，并直接写出抛物线在直线BC下方时自变量x的取值范围；
（3）过A，B两点的⊙M与抛物线在第一象限交于点D，且∠DMB＝90°，求点M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，故抛物线在直线BC下方时自变量x的取值范围是1＜x＜3；
（3）设抛物线的对称轴直线x＝1与x轴交于点N，过点D作DH⊥直线x＝1于点H，根据⊙M经过点A，点B，知点M在AB的中垂线上，即点M在对称轴直线x＝1上，证明△BNM≌△MHD（AAS），可得BN＝HM＝OB﹣ON＝2，MN＝DH，设MN＝DH＝x，则点D的坐标为（1+x，2+x），即得（1+x）2﹣2（1+x）﹣3＝2+x，从而解得x的值，可得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，
由图象可知，抛物线在直线BC下方时自变量x的取值范围是1＜x＜3；
（3）设抛物线的对称轴直线x＝1与x轴交于点N，过点D作DH⊥直线x＝1于点H，如图：
∵⊙M经过点A，点B，
∴点M在AB的中垂线上，即点M在对称轴直线x＝1上，
∴∠DHM＝∠DMB＝∠BNM＝90°，
∴∠DMH＝90°﹣∠BMN＝∠MBN，
∵BM＝DM，
∴△BNM≌△MHD（AAS），
∴BN＝HM＝OB﹣ON＝2，MN＝DH，
设MN＝DH＝x，则点D的坐标为（1+x，2+x），
又点D在抛物线上，
∴（1+x）2﹣2（1+x）﹣3＝2+x，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∵MN＝x＞0，
∴x＝3，
∴点M的坐标为（1，3）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示D的坐标．颜色
白色
蓝色
黄色
红色
奖金（元）
10
20
50
80
颜色
白色
蓝色
黄色
红色
奖金（元）
10
20
50
80
白
蓝
黄
红
白
（白，白）
（白，蓝）
（白，黄）
（白，红）
蓝
（蓝，白）
（蓝，蓝）
（蓝，黄）
（蓝，红）
黄
（黄，白）
（黄，蓝）
（黄，黄）
（黄，红）
红
（红，白）
（红，蓝）
（红，黄）
（红，红）