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北京市东城区2023-2024学年高二上学期期末统一检测数学试卷
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这是一份北京市东城区2023-2024学年高二上学期期末统一检测数学试卷，共9页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，设F为抛物线C，双曲线的渐近线方程为，曲线C等内容，欢迎下载使用。
2024.1
本试卷共6页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.直线的倾斜角为（ ）
A.30°B.60°C.90°D.150
2.已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ）
A.直线与平面平行B.直线在平面内
C.直线与平面垂直D.直线与平面不相交
3.设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.已知是数列的前n项和，，则（ ）
A.1B.3C.5D.8
5.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：
从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A.2041年～2042年B.2061年～2062年
C.2081年～2082年D.2101年～2102年
8.在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ）
A. B.1C. D.2
9.已知，则“-1，a，b，2为等比数列”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误的是（ ）
A.当，时，曲线C关于（0，1）中心对称
B.当，时，曲线C是轴对称图形
C.当，时，曲线C所围成的面积小于
D.当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
11.直线：的斜率为；过点且垂直于的直线方程是_________.
12.如图，已知M是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_________.
13.已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________.
14.2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为__________.
15.如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论：
①存在常数，使得恒成立
②存在正整数，当时，
③存在常数，使得恒成立
④存在正整数，当时，
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题10分）
如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.
（I）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题10分）
2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下：
假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率、
（I）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数；
（Ⅱ）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率；
（Ⅲ）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率.
18.（本小题10分）
已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，.
（I）若，求的值；
（Ⅱ）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题10分）
已知椭圆：，点，在上.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率.
20.（本小题10分）
已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
（I）判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5②：2，4，8，16，32
（Ⅱ）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（Ⅲ）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
东城区2023-2024学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学参考答案及评分标准
2024.1
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A 10.C
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11.-1， 12. 13. ，1 14.0.8 15.①②③
三、解答题（共5小题，共50分）
16.（本小题10分）
解：（I）因为是直三棱柱，
所以底面.
因为底面，底面，
所以，.
因为，如图建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
因为D，E分别为，的中点，
所以，.
所以，.
因为底面，所以是平面的一个法向量.
因为，所以.
因为平面，所以平面.
（Ⅱ）因为，，设平面的法向量为，
所以即令，则，.于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.（共10分）
解：（I）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.5+0.2+0.1=0.8，
所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为10000×0.8=8000.
（Ⅱ）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得.
设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则.
（Ⅲ）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开靠式，则.
设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则.
18.（共10分）
解：（I）因为为等比数列，，，
设的公比为，则.
解得.所以.
因为，所以.
因为为等差数列，，
所以.
（Ⅱ）选择条件②
因为为等差数列，为等比数列，，，，
设的公差为d，的公比为q，
则即
解得或（舍）.
所以，.
19.（共10分）
解：（I）由题意得，则椭圆C的方程为，代入，可得.
故椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，.
由得.
由，得.
设，，则.
，.
直线的方程为，
令，得.
所以.
因为，
所以.经检验满足.
所以直线的斜率为±2.
20.（共10分）
解：（I）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P.
②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P.
（Ⅱ）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.
（1）当m为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，m中所有的值共有15个，所以.
（2）当m为偶数时，都是偶数，所以.
所以.
时，10+32=42在前5项中任两项和的结果中未出现，
所以：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于10，即，矛盾.
时，12+32=44，12+16=28，12+2=14这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于12，即，矛盾.
时，：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共14个，成立.
综上，或.
（Ⅲ）存在最小值，且最小值为4045.
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以.
所以的值至少有2023+2022=4045个.
即的值至少有4045个，即.
数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件.
：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047，
考虑，根据等差数列的性质，
当时；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个.
所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值.
即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值.
综上，的最小值是4045，
一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045.
支付金额（元）
支付方式
大于1000
仅使用A
20人
8人
2人
仅使用B
10人
6人
4人
方式
手机
电脑
电视
未观看
频率
0.5
0.2
0.1
0.2
2024.1
本试卷共6页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.直线的倾斜角为（ ）
A.30°B.60°C.90°D.150
2.已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ）
A.直线与平面平行B.直线在平面内
C.直线与平面垂直D.直线与平面不相交
3.设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.已知是数列的前n项和，，则（ ）
A.1B.3C.5D.8
5.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A，B两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：
从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A.2041年～2042年B.2061年～2062年
C.2081年～2082年D.2101年～2102年
8.在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（ ）
A. B.1C. D.2
9.已知，则“-1，a，b，2为等比数列”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误的是（ ）
A.当，时，曲线C关于（0，1）中心对称
B.当，时，曲线C是轴对称图形
C.当，时，曲线C所围成的面积小于
D.当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
11.直线：的斜率为；过点且垂直于的直线方程是_________.
12.如图，已知M是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_________.
13.已知圆，则圆心坐标为_________；半径为_________.
14.2023年10月第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京胜利召开.某校准备进行“一带一路”主题知识竞赛活动.要求每位选手回答A，B两类问题，且至少一类问题的成绩达到优秀才能获奖.已知张华答A，B两类问题成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.5，则张华在这次比赛中获奖的概率为__________.
15.如图，正方形的边长为1，连接各边的中点得到正方形，连接正方形各边的中点得到正方形，依此方法一直进行下去.记为正方形的面积，为正方形的面积，为正方形的面积，…….. 为的前项和.给出下列四个结论：
①存在常数，使得恒成立
②存在正整数，当时，
③存在常数，使得恒成立
④存在正整数，当时，
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题10分）
如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.
（I）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题10分）
2023年9月23日第19届亚运会开幕式在杭州隆重举行.为调查某地区全体学生收看开幕式的情况，采用随机抽样的方式进行问卷调查，统计结果如下：
假定每人只用一种方式观看，且每人观看的方式相互独立、用频率估计概率、
（I）若该地区有10000名学生，试估计该地区观看了亚运会开幕式的学生人数；
（Ⅱ）从该地区所有学生中随机抽取2人，求这2人都观看了亚运会开幕式的概率；
（Ⅲ）从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用电脑观看了亚运会开幕式的概率.
18.（本小题10分）
已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，.
（I）若，求的值；
（Ⅱ）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题10分）
已知椭圆：，点，在上.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率.
20.（本小题10分）
已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
（I）判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5②：2，4，8，16，32
（Ⅱ）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（Ⅲ）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
东城区2023-2024学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学参考答案及评分标准
2024.1
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A 10.C
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11.-1， 12. 13. ，1 14.0.8 15.①②③
三、解答题（共5小题，共50分）
16.（本小题10分）
解：（I）因为是直三棱柱，
所以底面.
因为底面，底面，
所以，.
因为，如图建立空间直角坐标系.
设，则，，，，.
因为D，E分别为，的中点，
所以，.
所以，.
因为底面，所以是平面的一个法向量.
因为，所以.
因为平面，所以平面.
（Ⅱ）因为，，设平面的法向量为，
所以即令，则，.于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.（共10分）
解：（I）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.5+0.2+0.1=0.8，
所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为10000×0.8=8000.
（Ⅱ）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得.
设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式.由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则.
（Ⅲ）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开靠式，则.
设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则.
18.（共10分）
解：（I）因为为等比数列，，，
设的公比为，则.
解得.所以.
因为，所以.
因为为等差数列，，
所以.
（Ⅱ）选择条件②
因为为等差数列，为等比数列，，，，
设的公差为d，的公比为q，
则即
解得或（舍）.
所以，.
19.（共10分）
解：（I）由题意得，则椭圆C的方程为，代入，可得.
故椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，.
由得.
由，得.
设，，则.
，.
直线的方程为，
令，得.
所以.
因为，
所以.经检验满足.
所以直线的斜率为±2.
20.（共10分）
解：（I）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P.
②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P.
（Ⅱ）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.
（1）当m为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，m中所有的值共有15个，所以.
（2）当m为偶数时，都是偶数，所以.
所以.
时，10+32=42在前5项中任两项和的结果中未出现，
所以：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于10，即，矛盾.
时，12+32=44，12+16=28，12+2=14这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于12，即，矛盾.
时，：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共14个，成立.
综上，或.
（Ⅲ）存在最小值，且最小值为4045.
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以.
所以的值至少有2023+2022=4045个.
即的值至少有4045个，即.
数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件.
：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047，
考虑，根据等差数列的性质，
当时；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个.
所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值.
即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值.
综上，的最小值是4045，
一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045.
支付金额（元）
支付方式
大于1000
仅使用A
20人
8人
2人
仅使用B
10人
6人
4人
方式
手机
电脑
电视
未观看
频率
0.5
0.2
0.1
0.2
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