初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线教案

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线教案，共7页。

课题
1.4 角平分线（2）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：理解三角形三条角平分线相交于一点，并且这个交点到三角形三边的距离相等；
过程与方法：在证明和作图的过程中，体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程，发展合情推理能力，培养数学创新意识；
情感态度与价值观：体验解决问题的过程，感受成功的快乐，培养学生学习数学的兴趣..
重点
证明三角形三条角平分线性质．
难点
角平分线性质的应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上前面的学习中，我们学习了角平分线的性质和判定，下面请同学们回答：
问题1、说一说角平分线的性质定理？
答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问题2、说一说角平分线的判定定理？
答案：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾角平分线的性质和判定，为证明三角形三条角平分线的性质的探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
想一想：你还记得用尺规作角平分线的过程吗？
已知： ∠AOB.
求作：射线OC,使OC是∠AOB的平分线.
操作：作出下面每个三角形的三条角平分线.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
答案：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
追问：你发现了什么？
答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD丄AB,PE丄BC,
∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即∠A的平分线经过点P.
归纳：定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
几何语言：
在△ABC中，
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
指出：这是一个证明三条直线交于一点的又一种证明依据.
练习1：在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对
答案：B
例1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC， (等边对等角).
∵∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝
（2）证明：由(1)的求解过程易知，
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC＝AE(全等三角形的对应边相等)
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
练习2：如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.
答案：4:5:6
归纳：三角形三条内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形.
学生利用尺规作一个角的平分线.
学生动手画图，并认真观察所画图形，得出猜想.
学生在老师的引导下进行证明.
学生归纳三角形三条角平分线的性质，并尝试转化为几何符号语言.
学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生在老师的引导下完成例题的学习.
学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评，并与老师共同总结规律.
回顾利用尺规作角平分线的过程.
直观体会三角形三条角平分线交于一点的这一性质.
证明三角形三条角平分线的性质.
归纳三角形三条角平分线的性质，并掌握几何符号语言的表达形式.
应用三角形三条角平分线的性质解决实际问题.
进一步提高角平分线性质定理的应用.
提高学生应用三角形三条角平分线的性质解决实际问题的能力.
课堂练习
1．如图，小林已经画出了一个三角形的两条角平分线，他说：“我不用再将第三个角平分，就能画出第三条角平分线．”他说的有道理吗？他会怎样做？他这样做的理由是什么？
答：有道理．
连接CO，并延长交AB于点F，则CF即为∠ACB的平分线.
三角形的三条角平分线交于一点
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是( )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
答案：B
3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.
∵BP，CP分别是△ABC的外角平分线，
∴PE＝PG，PG＝PF.
∴PE＝PF.
∴点P在∠BAC的平分线上．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC.
则OC＝________.
答案：
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？
答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
问题2、你还有哪些收获呢？
答案：（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；
（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第32页习题1.10第1、2、3题
能力作业
教材第32页习题1.10第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
课题：1.4 角平分线（2）
教师板演区
学生展示区
1、三角形三条角平分线的性质：
2、应用：
借助板书，让学生知道本节课的重点。