辽宁省实验中学2024届高三上学期期中阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省实验中学2024届高三上学期期中阶段测试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,,则( )
A.B.C.D.
2．若,,则p是q的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．幂函数的图象过点,则的一个单调递减区间是( )
A.B.C.D.
4．欧拉公式(其中i为虚数单位,),是由瑞士著名数学家欧拉创立的,公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数的数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,的共轭复数为( )
A.B.C.D.
5．已知角终边与单位圆的交点为,则的值为( )
A.1B.C.D.
6．在平行四边形ABCD中,,,,E为AB的中点,若,且,则( )
A.B.C.1D.2
7．已知函数,若对任意的正数a,b,满足,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
8．在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．m,n是两条不同的直线,,是两个不重合的平面,下列说法正确的是( )
A.m,n是异面直线,若,,,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
10．关于函数,下列说法正确的是( )
A.由,可得必是的整数倍
B.
C.图像可由向右平移个单位得到
D.在上为增函数
11．《九章算术》是我国古代数学中的经典,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在阳马中,侧棱底面ABCD,且,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.以下结论正确的有( )
A.平面PAB
B.四面体EBCD是鳖臑
C.若阳马的体积为,四面体EBCD的体积为,则
D.若四面体EBCD的外接球的体积为,则.
12．定义在R上的函数满足:为奇函数,且,则( )
A.的图象关于对称B.4是的一个周期
C.D.
三、填空题
13．函数的导函数______.
14．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设,若为钝角,则实数的值为______.
15．如图是两个直角三角形板拼成的平面图形,其中,,,,则______.
16．在正三棱锥中,E,F分别是PA,AB的中点,.若,则三棱锥的外接球的表面积为______.
四、解答题
17．已知数列的前n项的和为,且,.
（1）证明数列是等比数列,并求的通项公式;
（2）求数列前n项的和.
18．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,
（1）求角B的大小;
（2）若,,求的值.
19．某职称考试有A,B两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,若某门课程上一年通过,则下一年不再参加该科考试,只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今年通过的概率均为;若两门均没有通过,则明年每门课程通过的概率均为;若只有一门没过,则明年这门课程通过的概率为.
（1）求该考生两年内可获得该职称的概率;
（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
20．直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,,D,E分别为,的中点且E在平面ABD上的射影是的重心G.
（1）求证:平面ABC;
（2）求二面角的平面角的余弦值.
21．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行,求该切线方程;
（2）当时,恒成立,求a的取值范围.
22．已知函数,,为其导函数.函数在其定义域内有零点.
（1）求实数a的取值范围;
（2）设函数,求证:对任意的且,.
（3）求证:.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可知:
,
故选:D.
2．答案：B
解析：由题意得:
由,所以的定义域为,显然是的真子集,所以p是q的必要而不充分条件.
故选:B
3．答案：A
解析：设,则,即,
所以,所以,
所以的递减区间为,
故选:A
4．答案：A
解析：,故.
故选:A.
5．答案：C
解析：角终边与单位圆的交点为,,
,,
.
故选:C.
6．答案：D
解析：如图所示,设向量,,则,,且,
所以
由E为AB的中点,可得,
又由,可得,
因为,可得
,解得.
故选:D.
7．答案：B
解析：对任意的,,所以,函数的定义域为R,
因为,即函数为奇函数,
又因为,且函数在R上为增函数,
所以,函数在R上为增函数,
对任意的正数a,b,满足,则,
所以,,即,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为.
故选:B.
8．答案：D
解析：由余弦定理可得,整理可得,
由正弦定理可得
,
因为B,,则,
因为正弦函数在上单调递增,所以,,所以,,
则,
因为为锐角三角形,则,解得,则,
所以,
,
令,则函数在上为增函数,
故,
故选:D.
9．答案：AD
解析：对于A选项,在直线m上取一点O,过点O作直线,使得,
过直线n作平面,使得,如下图所示:
因为,,,则,又因为,则,
因为,,则,设直线m,确定平面,
因为,,,,所以,,同理可证,故,A对;
对于B选项,若,,则或,B错;
对于C选项,若,,,则,相交(不一定垂直)或平行,C错;
对于D选项,因为,,则,
过直线n作平面,使得,如下图所示:
因为,,,则,
因为,则,又因为,所以,,D对.
故选:AD.
10．答案：BD
解析：对于A中,由,即,
解得,,,,则,,,
所以,,,所以A不正确;
对于B中,由函数,所以B正确;
对于C中,将函数的图象向右平移个单位,
得到,所以C不正确;
对于D中,由,可得,所以,
根据正弦函数的性质,可得函数在为单调递增函数,所以D正确.
故选:BD.
11．答案：BC
解析：如图,取PB中点F,连接EF,AF,因为E是PC的中点,
所以,,因为底面ABCD为长方形,
所以,,所以,,
所以四边形ADEF为梯形,所以直线DE与AF相交,
因为平面PAB,所以直线DE与平面PAB相交,所以A错误;
因为底面ABCD,所以,因为ABCD为长方形,所以,
因为,且,所以平面PCD,
因为平面PCD,所以,因为,所以,
又平面,平面,且,所以平面,
所以四面体EBCD四个面都是直角三角形,所以四面体EBCD是鳖臑,所以B正确;
由题意可知PD是阳马的高,所以,因为E是PC的中点,所以,所以C正确;
连接AC,则AC与BD相交与点M,连接EM,则M为四面体EBCD外接球的球心,所以半径为BM,若,则,
所以,所以四面体EBCD的体积,所以D错误.
故选:BC
12．答案：AD
解析：对选项A:为奇函数,,,
函数图象关于对称,正确;
对选项B:,,即,错误;
对选项C:,则,
设,故,
,
则,
故,,则,
为周期为4的周期函数,,则,
,
故,错误;
对选项D:,,
正确;
故选:AD
13．答案：
解析：,.
故答案为:
14．答案：
解析：以D为坐标原点,以DA,DC,所在的直线分别为x,y和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为1,点,
则,,,,
所以,,
因为,可得,可得,
所以,,,即,
因为点P与点B不重合,所以,所以为钝角,等价于,
所以,
解得,即实数的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：
解析：A,B,C,D四点共圆得出同弧对的圆周角相等
,,
,,
,,
,,,
故答案为:.
16．答案：
解析：取AC的中点O,连接OP,OB,如下图所示:
因三棱锥为正三棱锥,则,为等边三角形,
又因为O为AC的中点,所以,,,
因,OP,平面OPB,所以,平面OPB,
因为平面OPB,所以,,
因为E,F分别是PA,AB的中点,则,
因为,即,所以,,
因为,AC,平面PAC,所以,平面PAC,
因为PA,平面PAC,所以,,,
因为三棱锥为正三棱锥,则,即PA,PB,PC两两垂直,
以点P为坐标点,PA,PB,PC所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示空间直角坐标系,
则,,,,
设球心为,则,
可得,解得,
所以,三棱锥的外接球半径为,
因此,三棱锥的外接球的表面积为.
故答案:.
17．答案：（1）证明见解析,
（2）
解析：（1）因为数列满足,,则,且,
所以,数列是首项和公比均为的等比数列,则,故.
（2）,①
则,②
①②得,
所以,.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
所以,
,
因为B,,所以,,则,故.
（2）因为,,,
由余弦定理可得,则,
由正弦定理可得,所以,.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为A,
;
（2）X的可能取值为2,3,4.
;
;
;
X的分布列为:
数学期望为.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取AB的中点M,分别连接EM,CM,
因为E,M分别为,AB的中点,所以,且,
又因为,,且D为的中点,所以,且,
所以四边形CDEM为平行四边形,所以,
因为平面ABC,且平面ABC,所以平面ABC.
（2）因为,以C为原点,以CA,CB,所在的直线分别为x,y和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,且,则,,,,
因为G为的重心,所以,可得,且
又因为点E在平面ABD上的射影是的重心,
则,解得,
所以,可得,,
又由向量,,
设平面ADE的法向量为,则,
取,可得,所以,
因为平面ABD,且,所以平面ABD的一个法向量,
可得,所以二面角的平面角的余弦值.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）,则,
切线与直线平行,则,解得,
又,
则直线方程为:,即.
（2）,,,
故,故,
若,则,则存在使上,
函数单调递减,故,不成立;
现证明时,在上恒成立,
,
设,则在上恒成立,
故单调递增,即,
故在上恒成立,函数单调递增,
故,故.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）,则,,
设,在上恒成立,函数单调递减,
故,故,即;
（2）,,,
,,
设,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,恒成立,即,故;
设,则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
当时,恒成立,即,即,
故,得证;
（3）,要证,即,,
故,即,即,
整理得到:,
设,则,在上恒成立,
故函数单调递增,故,即,
即.
X
2
3
4
p