辽宁省铁岭市部分学校2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省铁岭市部分学校2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线关于点对称的直线方程是( )
A.B.C.D.
2．已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( )
A.7B.6C.5D.4
3．已知实数x,y满足,则的最大值是( )
A.B.4C.D.7
4．设,为椭圆的两个焦点,点P在C上,若,则( )
A.1B.2C.4D.5
5．双曲线的左,右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知,直线的斜率为,则双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
6．设椭圆，的离心率分别为，.若，则( )
A.B.C.D.
7．已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．过点与圆相切的两条直线的夹角为,则( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9．已知曲线.( )
A.若,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若,则C是圆,其半径为
C.若,则C是双曲线,其渐近线方程为
D.若,,则C是两条直线
10．设O为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( ).
A.B.
C.以MN为直径的圆与l相切D.为等腰三角形
11．已知点P在圆上,点,,则( )
A.点P到直线AB的距离小于
B.点P到直线AB的距离大于
C.当最小时,
D.当最大时,
12．已知O为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为B.直线AB与C相切
C.D.
三、填空题
13．已知双曲线C的焦点为和,离心率为,则C的方程为____________.
14．过原点的一条直线与圆相切,交曲线于点P,若,则p的值为_________.
15．已知,为椭圆的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为________.
16．已知椭圆C焦点,,长轴长为6,设直线交椭圆C于A,B两点,则线段AB的中点坐标为________.
四、解答题
17．已知的三个顶点分别为,,,DE为BC的垂直平分线,求:
（1）BC边所在直线的方程;
（2）BC边的垂直平分线的方程.
18．在平面直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线相切.
（1）求圆O的方程:
（2）已知圆O与x轴相交于A,B两点,圆O内的动点P满足,求的取值范围.
19．已知抛物线(p为常数,)的焦点与椭圆的右焦点重合,过点F的直线与抛物线交于A,B两点.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）若直线AB的斜率为1,求.
20．已知双曲线的离心率,双曲线C上任意一点到其右焦点的最小距离为.
（1）求双曲线C的方程.
（2）过点是否存在直线l,使直线l与双曲线C交于R,T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程:若不存在,说明理由.
21．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线OQ斜率的最大值.
22．已知椭圆过点,点A为其左顶点,且AM的斜率为,
（1）求C的方程;
（2）点N为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：设对称的直线方程上的一点的坐标为,
则其关于点对称的点的坐标为,
因为点在直线上,
所以即.
故选:D.
2．答案：D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点M在C上，
所以M到准线的距离为，
又M到直线的距离为5，
所以，故.
故选：D.
3．答案：C
解析：法一:令,则,
代入原式化简得,
因为存在实数y,则,即,
化简得,解得,
故的最大值是,
法二:,整理得,
令,,其中,
则,
,所以,则,即时,取得最大值,
法三:由可得,
设,则圆心到直线的距离,
解得
故选:C.
4．答案：B
解析：方法一:因为,所以,
从而,所以.
故选:B.
方法二:因为,所以,由椭圆方程可知,,
所以,又,平方得:
,所以.
故选:B.
5．答案：D
解析：如图,
因为,不妨设渐近线方程为,即,
所以,
所以.
设,则,所以,所以.
因为,所以,所以,所以,
所以,
因为,
所以,
所以,解得,
所以双曲线的方程为
故选:D
6．答案：A
解析：解法一：由已知得，，因为，所以，得.故选A.
解法二：若，则，又，所以，所以符合题意，由于是单选题，故选A.
7．答案：A
解析：因为,由双曲线的定义可得,
所以,;
因为,由余弦定理可得,
整理可得,所以,即.
故选：A.
8．答案：B
解析：方法一:因为,即,可得圆心,半径,
过点作圆C的切线,切点为A,B,
因为,则,
可得,,
则,
,
即为钝角,
所以;
法二:圆圆心,半径,
过点作圆C的切线,切点为A,B,连接AB,
可得,则,
因为
且,则,
即,解得,
即为钝角,则,
且为锐角,所以;
方法三:圆的圆心,半径,
若切线斜率不存在,则切线方程为,则圆心到切点的距离,不合题意;
若切线斜率存在,设切线方程为,即,
则,整理得,且
设两切线斜率分别为,,则,,
可得,
所以,即,可得,
则,
且,则,解得.
故选:B.
9．答案：ACD
解析：对于A,若,则可化为,
因为,所以,
即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若,则可化为,
此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;
对于C,若,则可化为,
此时曲线C表示双曲线,
由可得,故C正确;
对于D,若,,则可化为,
,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确;
故选:ACD.
10．答案：AC
解析：A选项:直线过点,所以抛物线的焦点,
所以,,,则A选项正确,且抛物线的方程为.
B选项:设,,
由消去y并化简得,
解得,,所以,B选项错误.
C选项:设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为,,d,
因为,
即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.
D选项:直线,即,
到直线的距离为,
所以三角形OMN的面积为,
由上述分析可知,,
所以,,
所以三角形OMN不是等腰三角形,D选项错误.
故选:AC.
11．答案：ACD
解析：圆的圆心为,半径为4,
直线AB的方程为,即,
圆心M到直线AB的距离为,
所以,点P到直线AB的距离的最小值为,最大值为,A选项正确,B选项错误;
如下图所示:
当最大或最小时,PB与圆M相切,连接MP,BM,可知,
,,由勾股定理可得,CD选项正确.
故选:ACD.
12．答案：BCD
解析：将点A的代入抛物线方程得,所以抛物线方程为,故准线方程为,A错误;
,所以直线AB的方程为,
联立,可得,解得,故B正确;
设过B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,
所以,直线l的斜率存在,设其方程为,,,
联立,得,
所以,所以或,,
又,,
所以,故C正确;
因为,,
所以,而,故D正确.
故选:BCD
13．答案：
解析：令双曲线C的实半轴,虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距,
由双曲线C的离心率为,得,解得,则,
所以双曲线C的方程为.
故答案为:
14．答案：6
解析：易知圆和曲线关于x轴对称,不妨设切线方程为,,
所以,解得:,由解得:或,
所以,解得:.
当时,同理可得.
故答案为:6.
15．答案：8
解析：因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,
且,所以四边形为矩形,
设,,则,,
所以,
,即四边形面积等于8.
故答案为:8.
16．答案：
解析：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中,,从而,
其标准方程是:,
联立方程组,消去y得,.
设,,AB线段的中点为,则,,
,即线段AB中点坐标为.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为直线BC经过和两点,
由两点式得BC的方程为,即.
（2）由（1）知直线BC的斜率,
则直线BC的垂直平分线的斜率.
易得BC中点的坐标为.
可求出直线的点斜式方程为,
即.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题设,圆O的半径r等于原点O到直线的距离,即.
得圆O的方程为;
（2）不妨设,,,由,即得,.
设,由,得
整理得.
由于点P在圆O内,故
由此得,则,
所以的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）16
解析：（1）因为椭圆的右焦为,所以,
所以,即,
所以抛物线C的标准方程;
（2）由（1）可知,直线AB的方程为,
联立方程,得,
设,,
所以,,
所以.
20．答案：（1）;
（2）这样的直线l不存在,证明见解析.
解析：（1）由题意可得,当P为右顶点时,可得到右焦点的距离最小,即有,解得,,,可得双曲线的方程为;
（2）过点假设存在直线l,使直线l与双曲线C交于R,T两点,且点P是线段RT的中点.
设,,可得,,
两式相减可得,由中点坐标公式可得,,可得直线l斜率为,即有直线l的方程为,,即为,
代入双曲线的方程,可得,由判别式为,可得方程无实数解.故这样的直线l不存在.
21．答案：（1）;
（2）最大值为.
解析：（1）抛物线的焦点,准线方程为,
由题意,该抛物线焦点到准线的距离为,
所以该抛物线的方程为;
（2）[方法一]:轨迹方程+基本不等式法
设,则,
所以,
由P在抛物线上可得,即,
据此整理可得点Q的轨迹方程为,
所以直线OQ的斜率,
当时,;
当时,,
当时,因为,
此时,当且仅当,即时,等号成立;
当时,;
综上,直线OQ的斜率的最大值为.
[方法二]:【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为.
设直线OQ的方程为,则当直线OQ与抛物线相切时,其斜率k取到最值.联立得,其判别式,解得,所以直线OQ斜率的最大值为.
[方法三]:轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为.
设直线OQ的斜率为k,则.
令,则对称轴为,所以.故直线OQ斜率的最大值为.
[方法四]:参数+基本不等式法
由题可设,.
因为,所以.
于是,所以
则直线OQ的斜率为.
当且仅当,即时等号成立,所以直线OQ斜率的最大值为.
22．答案：（1）;
（2）18.
解析：(1)由题意可知直线AM的方程为:,即.
当时,解得,所以,
椭圆过点,可得,
解得.
所以C的方程:.
（2）设与直线AM平行的直线方程为:,
如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程,
可得:,
化简可得:,
所以,即,解得,
与AM距离比较远的直线方程:,
直线AM方程为:,
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,
利用平行线之间的距离公式可得:,
由两点之间距离公式可得.
所以的面积的最大值:.