重庆市长寿区2023-2024学年高二（上）期末质量监测数学（B卷）试题（含解析）

这是一份重庆市长寿区2023-2024学年高二（上）期末质量监测数学（B卷）试题（含解析），共11页。试卷主要包含了考试时间，函数的单调增区间是等内容，欢迎下载使用。
高二年级数学 试题（B卷）
注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写.
4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．下列直线中，与直线平行的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列的首项为，递推公式为，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列导数公式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．直线与直线的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
8．函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
9．在函数图象上取一点及附近一点，则为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如下图所示.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．已知两条直线和互相垂直，则a＝ .
12．抛物线的准线方程为 .
13．已知等比数列的前n项和为，若，，则 .
14．已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 .
15．如图，是棱长为4的正方体，点在正方体的内部且满足，则到面的距离为 .
三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知，.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
17．已知直线l的倾斜角为，且过点，
(1)求直线l的直线方程；
(2)若以原点为圆心的圆C恰好与直线l相切，求圆C的方程.
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，， 平面，、分别是线段、的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值．
20．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的极值．
参考答案与解析
1．D
【解析】直线的斜率为2，找出斜率为2的直线方程即可.
【解答】因为直线的斜率为2，
又直线的斜率也为2，
所以两直线平行.
故选：D
【点拨】本题考查两直线平行斜率相等，考查对概念的理解，属于基础题.
2．D
【分析】利用递推公式逐项计算可得出的值.
【解答】由题意.
故选：D.
3．C
【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断即可．
【解答】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD正确；C错误，应为.
故选：C.
4．B
【分析】两个方程的联立，加减消元法计算即可.
【解答】……①
……②
①+②得：……③
③代入②有：……④
由③④得交点坐标为：.
故选：B.
5．A
【分析】根据，得，然后利用空间共线平行向量即可求解.
【解答】由题意知，，，且设，
所以得，解得，即，故A正确.
故选：A.
6．A
【分析】利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【解答】由题意得圆的半径为，
则圆的方程为.
故选：A.
7．A
【分析】根据双曲线标准方程的性质，列出关于不等式，求解即可得到答案
【解答】由双曲线的性质：，
解的或，
故选：A
8．B
【分析】对求导后，解不等式即可.
【解答】因为(),
所以,
令,解得：,
故函数()的单调增区间是 .
故选：B.
9．C
【分析】利用解析式求解出后，直接作比可得结果.
【解答】，，.
故选：C.
10．A
【分析】由图象可知函数在上单调递减，上单调递增，即可求解.
【解答】由题意知当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
由，，所以，得，故A正确.
故选：A.
11．
【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值.
【解答】直线斜率为3，直线和互相垂直，
则直线的斜率.
故答案为：
12．
【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.
【解答】抛物线的准线方程是.
故答案为：.
13．
【分析】结合已知条件，利用等比数列通项公式解出首项和公比，可求前5项的和.
【解答】设等比数列的公比为，则有，解得，
.
故答案为：
14．2
【分析】求出双曲线的左焦点的坐标及渐近线的方程，再借助点到直线距离求出答案.
【解答】由双曲线得，，
∴双曲线的渐近线方程为，即
∴左焦点到双曲线的渐近线的距离为，
故答案为：2.
15．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点面距离即可.
【解答】如图所示建立空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的一个法向量，
所以，
取，即，
故到平面的距离.
故答案为：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可；
（2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可.
【解答】（1）因为，，又，
由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列，
故数列的通项公式为.
（2）由等差数列的求和公式可得：，所以
17．(1)
(2)
【分析】（1）由倾斜角算斜率，点斜式求直线方程；
（2）由圆心到直线距离等于半径，根据圆心和半径求圆的方程.
【解答】（1）直线l的倾斜角为，则直线的斜率，
直线过点，所以直线l的方程为，即.
（2）圆心到直线l的距离为，
由于直线l与圆相切，所以圆的半径，
故圆的方程为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意得，，从而得平面，进而得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量夹角公式求线面所成的角.
【解答】（1）因为底面是矩形，所以,
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
则平面，
因为平面，所以.
（2）如图，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
设直线与平面所成的角为，
则.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合，求出，，得到椭圆方程；
（2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案.
【解答】（1）由题意得，解得，
又，故，解得，
故椭圆方程为；
（2）由题意得，，
可得直线方程为，
联立与得，
设，故，
故.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）利用导数分类讨论函数的单调性，进而由极值的定义表示极值.
【解答】（1）当时，，
由得，切点，
，则切线的斜率，
故切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
，
当时，，函数在定义域内为减函数，无极值；
当时，令，解得，
当时，；当时，，
∴在上为减函数，在为增函数，
∴函数有极小值.