北京市昌平区2023-2024学年高一（上）期末质量抽测数学试题（含解析）

这是一份北京市昌平区2023-2024学年高一（上）期末质量抽测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了填空题共6小题．等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
第一部分（选择题）
一、选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
4．已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则（ ）
A．B．2C．D．4
5．向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（ ）
A．B．C．D．
6．以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）.
给出下列四个结论：
①甲同学成绩的极差比乙同学大；
②甲同学成绩的平均数比乙同学高；
③甲同学成绩的分位数比乙同学小；
④甲同学成绩的方差比乙同学大
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．①③④
7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
8．已知函数，则“，使”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．1或2C．3D．1或3
10．高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：
①有人通过了体能测试：
②同学甲没有通过体能测试；
③有人没有通过体能测试.
若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（ ）
A．只有1名同学通过了体能测试B．只有1名同学没有通过体能测试
C．30名同学都通过了体能测试D．30名同学都没通过体能测试
第二部分（非选择题）
二、填空题共6小题．
11．函数的定义域为 .
12．已知向量，不共线，且，.若，则 .
13．，，三个数中最大的数是 .
14．在中，点D，E满足，.若，则 .
15．甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为 ；至少有两人投中的概率为 .
16．已知函数，给出下列四个结论：
①在定义域上单调递增；
②存在最大值；
③不等式的解集是；
④的图象关于点对称．
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共5小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．已知全集，，，.
(1)求，.
(2)若，求实数a的取值范围.
18．为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：
(1)求出表中，及图中的值；
(2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数；
(3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率.
19．已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）设，，求的最小值；
(2)当时，若函数的图象上任意一点都不在直线的上方，求的取值范围.
20．某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元.
(1)若旅游团人数为40，求每人应交的费用；
(2)设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式；
(3)求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大.
21．已知函数是奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(3)解关于t的不等式.
参考答案与解析
1．C
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【解答】依题意.
故选：C
2．B
【分析】根据函数奇偶性与单调性判断即可.
【解答】对于选项A：关于原点对称，是奇函数，且在上单调递减，故A不正确；
对于选项B：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递增，故B正确；
对于选项C：是非奇非偶函数，且在上单调递减，故C不正确；
对于选项D：关于轴对称，是偶函数，且在上单调递减，故D不正确.
故选：B.
3．D
【分析】采用举反例的方法，可判断A，B，C，利用不等式性质可判断D.
【解答】对于A：如果，当时，则，选项A不正确；
对于B：如果，取，，满足条件，但，选项B不正确；
对于C：如果，取，，满足条件，但，选项C不正确；
对于D：如果，则必有，故，则，选项D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据向量加法的运算法则和向量模的计算求解.
【解答】由图知，，所以，
所以.
故选：B.
5．C
【分析】分析函数增长速度得到结论.
【解答】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状，水面的高度变化应该是：先逐渐变快，后逐渐变慢.
故选：C
6．A
【分析】根据茎叶图、极差、平均数、百分位数、方差等知识进行分析，从而确定正确答案.
【解答】①甲同学成绩的极差为，
乙同学成绩的极差为，所以①正确，排除C选项.
②甲同学成绩的平均数为，
乙同学成绩的平均数为，所以②错误.
③，所以甲同学成绩的分位数是，
乙同学成绩的分位数是，所以③错误，排除BD选项.所以A选项正确.
同时，通过观察茎叶图可知甲同学的成绩相对分散，乙同学的成绩相对集中，
所以甲同学成绩的方差比乙同学大，④正确.
故选：A
7．D
【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得.
【解答】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象，
所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度.
故选：D
8．B
【分析】由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立.
【解答】由” ，使”，即，所以，
即，充分性不成立；
已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立.
综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
9．A
【分析】分段分析函数的取值集合，再分段确定的零点个数即可.
【解答】当时，函数在上单调递增，，显然，
而，即恒有，函数在上无零点；
当时，，函数取值集合为，
由，，得，解得或，在上有2个零点，
所以函数的零点个数为2.
故选：A
10．C
【分析】根据给定条件，分析确定正确的一个判断，即可求得正确答案.
【解答】“有人通过了体能测试”与“有人没有通过体能测试”不可能都为真，
若“同学甲没有通过体能测试”为真，则“有人没有通过体能测试”必真，不符合题意，
因此“同学甲没有通过体能测试”是假的，即同学甲通过了体能测试，②假，①真，③假，
由“有人没有通过体能测试”是假的判断，得30名同学都通过了体能测试，C正确.
故选：C
11．
【分析】由函数定义域的求法直接求解.
【解答】由.
故答案为：
12．
【分析】根据向量平行列方程，从而求得的值.
【解答】由于，所以存在，使得，
即，
所以，解得.
故答案为：
13．
【分析】利用指数函数、对数函数等知识，与1，2进行比较即可求得正确答案.
【解答】，
，，
，
所以三个数中最大的是.
故答案为：
14．##
【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【解答】在中，点D，E满足，，
则，
而不共线，又，因此，
所以.
故答案为：
15． ## ##
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【解答】甲、乙、丙三人都投中的概率为.
至少有两人投中的概率为.
故答案为：；
16．①③④
【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得.
【解答】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确；
由于，则，，函数不存在最大值，②错误；
不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确；
由于，因此的图象关于点对称，④正确，
所以所有正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
【点拨】结论点拨：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得，.
（2）先求得，然后根据以及对进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【解答】（1），解得或，
所以或，
，解得，
所以，
所以或.
（2），
，
当时，无解，
无法使得成立，不符合题意.
当时，由解得，
则，无法使得成立，不符合题意.
当时，由解得，
则，
要使成立，则需.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率与频数求得，结合图表求得.
（2）根据阅读时间在区间内的频率求得对应的人数.
（3）根据分层抽样以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
【解答】（1）依题意，，
所以，
.
（2）阅读时间在区间内的人数为.
（3）抽取人，记为，
抽取人，记为.
从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有：
，共个，
至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有：
，共个，
所以至多有人阅读时间在区间内的概率为.
19．(1)（ⅰ）；（ⅱ）的最小值为
(2)
【分析】（1）（ⅰ）根据一元二次不等式的解求得.（ⅱ）利用基本不等式求得的最小值.
（2）由恒成立，然后对进行分类讨论来求得的取值范围.
【解答】（1）（ⅰ）依题意，关于的不等式的解集为，
所以，解得.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
当时，
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
（2）当时，，
由于函数的图象上任意一点都不在直线的上方，
所以恒成立，即恒成立，
即恒成立，
当时，不等式不恒成立，
当时，要使恒成立，
则需，解得，
所以的取值范围是.
20．(1)150元；
(2)；
(3)45.
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）根据自变量的取值范围，分或列出函数解析式即可；
（3）利用题中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论．
【解答】（1）若旅游团人数为40，每人应交的费用为：元；
（2）当时，，
当时，，
即；
（3）当时，，
当时，，
即.
当时，中随的增大而增大，
所以时，，
当时，，
即时，.
所以当旅游团人数为时，旅行社可获得的利润L最大.
21．(1)；
(2)单调递减，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值.
（2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得.
（3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得.
【解答】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，
因此，解得，
所以实数a的值为.
（2）由（1）知，函数在上单调递减.
函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
函数在上单调递减，所以函数在上单调递减.
（3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减，
显然当时，，当时，，
不等式，
于是或或，
解，得，解，得无解，解，得，
所以不等式的解集为.
【点拨】易错点拨：借助函数单调性求解在定义域上不单调的函数不等式，必须分成在同一单调区间内和在不同单调区间内两大类求解.
分组区间
频数
频率
合计