04对数和对数函数-广东省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版

04对数和对数函数-广东省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）一、单选题1．（2023下·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则（    ）A． B． C． D．2．（2023上·广东清远·高一统考期末）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（    ）A． B． C． D．3．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数的大致图象如图所示，则（    ）A． B．C． D．4．（2023上·广东汕尾·高一统考期末）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若，则的值约为（    ）A． B． C． D．5．（2023上·广东广州·高一统考期末）计算的值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022上·广东珠海·高一校考期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（　　）A． B．C． D．7．（2022上·广东珠海·高一校考期末）在同一平面直角坐标系中，函数，的图象只可能是（　　）A． B．C． D．8．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（    ）A． B． C． D．二、填空题9．（2023下·广东·高一统考期末）已知函数，则 ．10．（2023下·广东深圳·高一统考期末） .11．（2023上·广东深圳·高一统考期末）计算： .12．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知S市某所新建高中年的绿化面积为，若该校绿化面积的年平均增长率为％，则到 年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是.（参考数据：，）13．（2022上·广东茂名·高一化州市第一中学校考期末）已知， ，若，则 ．14．（2022上·广东深圳·高一校考期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 ．15．（2022上·广东茂名·高一统考期末）已知函数，则 ．16．（2023上·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）若定义运算，则函数的值域是 .三、解答题17．（2022上·广东深圳·高一校考期末）（1）化简；（2）．18．（2023上·广东云浮·高一统考期末）求值：(1)；(2)．19．（2022上·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）（1）设a为正实数，已知求的值；（2）.20．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.21．（2023下·广东深圳·高一统考期末）已知函数（且）在上的最大值为.(1)求的值；(2)当时，，求实数的取值范围.参考答案：1．A【分析】两边同时取以为底的对数，求出后，结合对数的运算性质进行求解.【详解】由题意，，根据对数的性质可得，即，注意到，于是，故，解得，故.故选：A2．B【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.【详解】，，.故选：B.3．A【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A正确，由不等式可加性可判断BCD错误.【详解】作直线，则由，可得，则由不等式性质可得，所以A正确.由不等式可加性可得，故D错误，不能推出B、C，故B、C错误.故选：A.4．D【分析】利用指数与对数的互化，结合对数换底公式化简求值即可．【详解】，故选：D5．D【分析】根据指数和对数的运算法则，直接计算可得答案.【详解】.故选：D.6．A【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解.【详解】由对数函数的性质，可得，，即，又由指数函数的性质，可得，所以.故选：A.7．C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为，所以在定义域上递增，且，所以在定义域上递减，故选：C8．D【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中不单调，且可举出实例.【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，ABC选项，在R上单调递减，在R上单调递增，在上单调递增，ABC错误；D选项，在上单调递减，在上单调递增，不妨设，与函数，，两者的值域相同，为同值函数，D正确.故选：D9．【分析】将代入对应解析式求解即可.【详解】，.故答案为：.10．【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】.故答案为：11．【分析】由对数和指数幂的运算性质计算即可.【详解】原式.故答案为：.12．【分析】设经过n年后，该校的绿化面积约是，由已知可得n的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可．【详解】设经过n年后，该校的绿化面积约是，则由已知得，即，两边取对数得，，故答案为：．13． /【分析】根据函数的解析式求得正确答案.【详解】，所以，，即，若，当时，则，此时a不存在，当时，则，解得．综上，．故答案为：，14．【分析】根据题意，令，转化为的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由函数，令，令，可得，要使得函数的值域为，则的值域能取遍一切正实数，当时，则满足，解得；当时，可得，符合题意；当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.15．/【分析】判断并计算，再判断计算作答.【详解】函数，则，所以.故答案为：16．【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答.【详解】依题意，由，得，即，解得，由解得，因此，显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，所以函数的值域为.故答案为：17．;.【分析】利用指对数的运算公式计算即可.【详解】（1），（2）.18．(1)(2)【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【详解】（1）；（2）.19．（1）-12   （2）【分析】（1）根据分数指数幂运算性质，利用因式分解和平方关系即可求得结果；（2）利用对数运算法则和换底公式化简计算即可求值.【详解】（1）将两边同时平方可得，即，利用立方差公式分解可得，分别代入数值计算可得.（2）原式20．(1)(2)【分析】（1）由题得到方程，求出方程的根；（2）换元后得到的单调性，结合复合函数的单调性得到单调递增，求出值域.【详解】（1），故，，所以，解得；（2）令，当时，，故，由于在上单调递增，故，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故.21．(1)；(2).【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值；（2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数在上单调递增，则，解得；当时，函数在上单调递减，则，舍去；综上可知，；（2）由（1）得，，当时，，即，化简得，构造，和分别在上单调递增，在上单调递增，，故实数的取值范围是.