05函数模型的应用-广东省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版

这是一份05函数模型的应用-广东省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·广东梅州·高一统考期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成木，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年），，满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年.
A．5B．6C．7D．8
2．（2023上·广东广州·高一统考期末）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为（其中，k是正常数）．已知经过1h，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：）（ ）
A．3.0hB．3.3hC．6.0hD．6.6h
3．（2023上·广东·高一统考期末）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量随时间（单位：年）变化的数学模型：表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（ ）（参考数据：）
A．2796年B．3152年C．3952年D．4480年
4．（2023上·广东深圳·高一统考期末）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·广东广州·高一铁一中学校考期末）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L，则PP棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．9B．8C．7D．6
6．（2023上·广东广州·高一统考期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙蝠发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为，人能忍受的最高声强为，则=（ ）
A．10B．100C．1000D．10000
7．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：）
A．第5代种子B．第6代种子C．第7代种子D．第8代种子
8．（2023上·广东广州·高一广州市真光中学校考期末）已知甲､乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023上·广东深圳·高一统考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（ ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）2022年10月31日至11月1日，中国空间站梦天实验舱在长征五号遥四运载火箭的托举下成功入轨，并与空间站组合体完成交会对接，梦天实验舱，是中国空间站的“最后一块拼图”.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；则燃料质量为 时，火箭的最大速度可达.
11．（2023上·广东梅州·高一统考期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是℃，经过一定时间tmin后的温度T℃，则可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯80℃的绿茶放在室温为20℃的房间中，已知茶温降到50℃需要10min.那么在20℃室温下，用80℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 min，才能达到最佳饮用口感.
12．（2023上·广东·高一统考期末）2022年10月31日至11月1日，中国空间站梦天实验舱在长征五号B遥四运载火箭的托举下成功入轨，并与空间站组合体完成交会对接，梦天实验舱，是中国空间站的“最后一块拼图”．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，该火箭的最大速度为；当燃料质量为时，则火箭的最大速度为 ．
13．（2022上·广东深圳·高一统考期末）煤油在作为喷气发动机的燃料之前需通过黏土除去其中的污染物．某种煤油中污染物的含量为，测得这种煤油通过的圆形黏土管道后污染物的含量如下表：
若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的％，则至少需要 m的圆形黏土管道．（参考数据：）
14．（2022上·广东佛山·高一统考期末）2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的 倍.（参考数据：）
15．（2021上·广东茂名·高一统考期末）一种药在病人血液中的量保持在2000mg以上时才有疗效，而低于1280mg时病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟必须在注射后 小时前向病人的血液补充这种药.
16．（2021上·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期末）有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从 年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，)
三、解答题
17．（2023上·广东梅州·高一统考期末）洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事.对于一件用洗衣粉已搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服，如果用定量的清水来漂洗它，问对清水分配使用的不同，对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗？为此，我们研究漂洗一块毛巾的情形，提出以下假设：①漂洗前和每一次漂洗拧干后，毛巾上总残留清水b克；②每一次漂洗时，毛巾上残留的污物会均匀地溶解在漂洗和残留的清水里，污物则按浓度比例（注：浓度比例）随着拧走的水而去除，剩余污物留在残留的清水中；③符号假设：用来漂洗的清水总质量为M克，漂洗之前毛巾上的初始污物质量为克，现在，有以下两种方案：方案一：一次性用完全部的清水去漂洗毛巾；方案二：把清水均匀地分两次，对毛巾进行漂洗.
(1)如果采用方案一，求漂洗拧干后的毛巾中污物剩余质量；
(2)如果采用方案二，设第一次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，第二次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，求两次漂洗后的毛巾中污物剩余质量；并对比哪种方案的效果好.
18．（2023上·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.
(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
19．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：
①，
②，
③，
④．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；
(2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．
20．（2023上·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产(千辆)获利(万元)，，该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为(单位:万元)．
(1)求函数的解析式;
(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大?最大利润是多少?
m
2
3
5
3.5
4.5
5.5
时间t
7
9
10
11
13
种植成本Q
19
11
10
11
19
参考答案：
1．B
【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意，年平均利润为，，
因为时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即当时，年平均利润最大为6万元.
故选：B
2．B
【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意可知，所以，
设过滤的污染物需要的时间为，则，
所以，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】设三星堆古遗址存在的时期距今大约是x年，由求解.
【详解】设三星堆古遗址存在的时期距今大约是x年，
则，即，
所以，解得，
所以推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是年.
故选：B
4．A
【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即可．
【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为；
过滤第两次污染物的含量减少，则为；
过滤第三次污染物的含量减少，则为；
过滤第n次污染物的含量减少，则为；
要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，
两边取以10为底的对数可得，
即，
所以，
因为，
所以，
所以，又，所以，
故排放前需要过滤的次数至少为次．
故选：A．
5．B
【分析】根据题意得到不等式，解出答案.
【详解】设经过层PP棉滤过滤后的大颗粒杂质含量为，则，
令，解得：，
两边取常用对数得：，即，
因为，，
所以，解得：，
因为，所以的最小值为8.
故选：B
6．B
【分析】先得到，分别代入dB和120dB，求出，求出答案.
【详解】由得到，
将dB代入得：，
将dB代入得：，
故.
故选：B
7．C
【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.
【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为
，故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子．
故选：C.
8．D
【分析】结合题干分析求解分段函数解析式即可．
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上：
故选：D．
9．D
【分析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.
【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则，即，，
则，，
次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故选：D.
10．
【分析】设燃料质量为时，火箭的最大速度可达，根据题设有，结合对数运算性质求即可.
【详解】设燃料质量为时，火箭的最大速度可达，
由题意，则，
所以，可得.
故答案为：
11．20
【分析】由80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中茶温降到50℃需要10min代入公式得；茶温降到35℃需要min代入公式得，观察与为平方关系，可求得.
【详解】一杯80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到50℃需要10min，
那么：，所以
一杯80°C的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到35℃需要min，
那么：，所以，
所以，所以，
故答案为：20
12．10
【分析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再列方程可求解.
【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得.
设当燃料质量为时，火箭的最大速度为，
则,
解得.
故当燃料质量为时，火箭的最大速度为.
故答案为:10.
13．
【分析】根据表格得到，解不等式，可得结果.
【详解】由表可知，，
由，得，
两边取常用对数得，得.
所以若要使这种煤油中污染物的含量不超过原来的％，则至少需要的圆形黏土管道．
故答案为：
14．51
【分析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，根据条件列方程求出k值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，根据题中数据再列方程可得a值.
【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，
则
，得
，
则燃料质量是箭体质量的51倍
故答案为：51.
15．3
【分析】设注射后小时前向病人的血液补充这种药，由题设可得关于的不等式，从而可求的范围，故可得正确的答案.
【详解】设注射后小时前向病人的血液补充这种药，则，故.
故答案为：3.
16．2021
【分析】根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果.
【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得，
两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
故答案为：2021
17．(1)
(2)，，方案二的效果更好
【分析】（1）依照方案一漂洗时加入清水M克，此时克污物均匀地溶解在克清水里，取出毛巾拧“干”后，毛巾上残留的污物量均匀地溶解在毛巾上残留的清水b克里.得出，求出.
（2）方案二，第一次漂洗，与问题一相同，有：，求出，同理得出，比较的大小关系即可得出结果.
【详解】（1）由假设知，第一次漂洗前，毛巾上有污物克，残留的清水b克.依照方案一漂洗时加入清水M克，此时克污物均匀地溶解在克清水里，取出毛巾拧“干”后，毛巾上残留的污物量均匀地溶解在毛巾上残留的清水b克里.
由于毛巾拧干前后污物的浓度相等，故拧干后毛巾上残留的污物量与毛巾上残留的清水量b之比，等于拧干前毛巾上残留的污物量与清水量之比，
即：，从而.
（2）先采用方案二，第一次漂洗，与问题一相同，有：
即：第一次漂洗之后剩余污物量，
同理，在第二次漂洗拧干前，毛巾上残留的污物量与清水量之比，等于在拧干之后毛巾上残留的污物量与毛巾上残留的清水量b之比，即，
也即，然而.
因此，即说明方案二的效果更好.
18．(1)，
(2)模型①是“理想函数模型”，理由见解析
(3)（百万个
【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可；
（3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
由图表数据可得，
，，
联立上式，解方程可得，，
则；
当时，，
由图表数据可得，
联立上式，解方程可得，
则；
（2）考虑①，由，
可得，而
，
可得模型①是“理想函数模型”；
考虑②，由，可得
而，
所以模型②不是“理想函数模型”；
（3）由（2）可得时，
（百万个
19．(1)选择，理由见解析，
(2)20
【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（2）通过二次函数的性质即可求出实数m的最大值
【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，
因为，，都是单调函数，所以不符合题意，
因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，
由表格数据可得，解得，
所以，经检验其他几组数据也满足表达式
（2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上，
，所以，
所以实数m的最大值为20
20．(1)
(2)当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元．
【分析】（1）根据已知，利用获利减去成本得到利润；
（2）利用一次函数、二次函数以及分段函数求最值.
【详解】（1）由已知，，
又，
∴；
（2）由（1）有：；
当时，，则当时，；
当时，，即时，，
∵，∴的最大值为380，
故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元．