02函数及其性质-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）

这是一份02函数及其性质-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022上·广东惠州·高三校考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知实数a，b满足，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·广东潮州·高三统考期末）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A．B．
C．D．
6．（2022上·广东珠海·高三统考期末）已知是定义域在上的奇函数，且满足．当时，，则（ ）
A．B．C．4D．
7．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·广东深圳·高三统考期末）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
二、填空题
10．（2022上·广东佛山·高三统考期末）已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是 .
11．（2022上·广东汕头·高三统考期末）写出符合如下两个条件的一个函数 ．①，②在内单调递增．
12．（2022上·广东深圳·高三统考期末）已知存在实数，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ．
13．（2022上·广东深圳·高三统考期末）已知函数，则的最大值为 ．
14．（2022上·广东佛山·高三统考期末）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则 ，的最小值为 .
15．（2021上·广东中山·高三统考期末）已知，若，则的取值范围是 .
16．（2020上·广东东莞·高三统考期末）已知函数满足，则a的值为 .
三、解答题
17．（2019上·广东广州·高三统考期末）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数（同组数据用区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为千克（），利润为元．
①求关于的函数表达式；
②根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率．
18．（2014上·广东中山·高三统考期末）已知函数，（其中为常数）；
（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值；
（Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．
19．（2011上·广东·高三统考期末）已知函数（常数）的图像过点、两点．
（1）求的解析式；
（2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，若不等式恒成立,求实数的取值范围；
（3）若是函数图像上的点列，是正半轴上的点列，为坐标原点，是一系列正三角形，记它们的边长是，探求数列的通项公式，并说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】利用导数法得到函数在 单调递增，且函数为偶函数判断.
【详解】解：函数为偶函数，
又，当时，单调递增，
又函数为偶函数，，
，
且，
，
即.
故选：B.
2．C
【分析】求出分式不等式的解集及的定义域，根据集合的交集运算求.
【详解】，因此．
故选：C．
3．B
【分析】分别求出集合对应的代表元素，根据并集的定义即可求解.
【详解】由题意可得，，则，
故选：B.
4．B
【分析】构建函数，对A、B：根据题意结合的单调性分析判断；对C、D：通过赋值令和分析判断.
【详解】令，则在定义域内单调递增，
∵，即，
∴，A错误，B正确；
令，则，且，
∴，此时，C错误；
令，则，且，
∴，此时，D错误；
故选：B.
5．D
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【详解】解：对于A：定义域为，
当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；
对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；
对于C：定义域为，
又，所以当时，
当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，
所以当或时，当时，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；
故选：D
6．A
【分析】首先得到函数的周期性，再根据奇函数的性质计算可得；
【详解】解：由得，所以是周期为2的周期函数，且是定义域在上的奇函数，所以，
所以，
故选：A．
7．D
【分析】设，则，令，利用导数可得函数为增函数，即得.
【详解】设，则，
令，则，
设，则
所以在上为增函数，
故，即，
∴在上为增函数，
∴，即.
故选：D.
8．C
【分析】求出集合M，N中的元素范围，再求交集即可.
【详解】，
，
则.
故选：C.
9．C
【分析】先以偶函数定义去判断选项A的正误，再以奇函数的定义去判断选项B、C、D的正误.
【详解】选项A:
，
是奇函数，判断错误；
选项B:
,
是偶函数，判断错误；
选项C:
，
是奇函数，判断正确；
选项D:
，
是偶函数，判断错误.
故选：C
10．
【分析】构造函数 ，运用条件求出 的单调性，再根据函数 的奇偶性求解.
【详解】设 ，则 ，
在 时是单调递增的， ， 时 ， 时， ， ， ；
设 ，则 ， 是偶函数，
时， 的解是 ；
故答案为： .
11．（答案不唯一）
【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可．
【详解】
函数的图象关于对称，
又函数在内单调递增，
符合条件的一个函数解析式可以是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】根据基本不等式求得的最小值为，将问题转化为只需存在实数，使得成立即可，即，再根据二次函数和指数函数的性质可求得答案.
【详解】解：∵，当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为，
∴只需存在实数，使得成立即可，即，
又当时，，所以，∴，
∴，∴实数的取值范围为，
故答案为：.
13．
【分析】利用分段函数的单调性可得结果.
【详解】解：时，单调递增，；
时，单调递减，.
所以的最大值为．
故答案为：．
14． 0 /-0.25
【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；
因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为
故答案为：0，
【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的.
15．
【分析】分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】当时，即当时，由可得，矛盾；
当时，即当时，由可得，
可得，解得，此时；
当时，由可得，即，矛盾.
综上所述，满足不等式的的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数不等式的求解，求解时需要对自变量的取值进行分类讨论，根据自变量的取值选择合适的解析式来求解.
16．2018
【解析】先由分段函数解析式可得，再分类讨论得不等式组或，然后求解即可.
【详解】解：由分段函数解析式可得，
又，则，
则或，
解得：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
17．（1）265千克；（2）①；②0.7.
【解析】(1) 用频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和即为平均值；
(2) ①根据日需求量与进货量250千克的关系，分类讨论即可求出；
②由解出日需求量的取值范围，再根据频率分布直方图求出对应的面积即可．
【详解】(1)
50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265
故该蔬果日需求量的平均数为265千克．
(2)
① 当日需求量低于250千克时，利润=（元）；
当日需求量不低于250千克时，利润（元），
所以．
② 由，解得．
所以==++=0.7
故根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率为0.7
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数，以及分段函数的求法应用，属于基础题．结论点睛：在频率分布直方图中，众数等于最高矩形底边中点横坐标，中位数是把频率分布直方图分成左右两边面积相等的分界对应的数值，平均数等于频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和．
18．（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）对求导，得到有2个根，而在处有极大值，所以那2个根分别等于，得到a的值；（Ⅱ）假设存在使得，将问题转化成了存在，使得，分类讨论，结合二次函数分析运算；（Ⅲ）已知条件中有5个不同的零点，根据解析式的特点，知有3个不同的实根，有2个不同的实根，分别分析处理，确定a的取值范围，同时证这5个根互不相等.
【详解】（1），则，
令，得或
而在处有极大值，
∴或，则或
（2）假设存在，即存在，使得
，
当时，又，故，则存在，使得
当即时，得
；
当即时，得
无解
综上：
(3)据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）有2个不同的实根，则
∴或
（ⅱ）有3个不同的实根，
当即时，在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，而，不符合题意，舍去；
当即时，在上单调递增，不符合题意，舍去；
当即时，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，，则
所以；
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；
下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立.
若存在使得，
由，即，得，
当时，，不符合，舍去；
当时，即①
又由，即②
联立①②式，可得；故舍去，
综上，当时，函数有5个不同的零点．
19．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将、两点坐标代入函数中，即可求出、的值，进而求得函数的解析式；（2）根据前面求得的的解析式和题中已知条件可知函数的解析式，令，便可求出的取值范围；（3）根据前面求得的函数结合题中已知条件便可求出与的关系，便可求得数列的通项公式．
【详解】（1）由已知得：⇒，⇒.
（2）由函数的图象与函数的图象关于直线对称
故，
⇔，
原问题等价于在恒成立，
利用函数在区间上为增函数，可得；
（3）由⇒⇒，
由⇒⇒，
将代入，
∴且，
又，
两式相减可得：⇒
⇒，
因为，所以，
从而是以为首项，为公差的等差数列，即．
【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法以及数列与函数的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．