12平面解析几何（圆锥曲线）-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，

这是一份12平面解析几何（圆锥曲线）-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·广东清远·高三统考期末）若椭圆的焦距为6，则实数（ ）
A．13B．40C．5D．
2．（2022上·广东汕尾·高三统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）已知过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点的右边），为原点.若的重心的横坐标为10，则的值为（ ）
A．144B．72C．60D．48
4．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·广东珠海·高三统考期末）双曲线的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，，则双曲线C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若，则（ ）
A．B．3C．D．
7．（2019上·广东深圳·高三深圳市南头中学校考期末）过双曲线的焦点作其渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线的另一条渐近线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020上·广东清远·高三校考期末）焦距为8，离心率，焦点在轴上的椭圆标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2020上·广东深圳·高三统考期末）已知双曲线：的左，右焦点分别为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于点，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题
10．（2021上·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知F1，F2是椭圆的左､右焦点，以F1为圆心，b为半径的圆与椭圆相交于点P，PF2恰好与圆相切，则椭圆的离心率为 .
11．（2022上·广东佛山·高三统考期末）写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程： .①焦点在轴上；②离心率为.
12．（2022上·广东佛山·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是，则 .
13．（2022上·广东惠州·高三校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为 ．
14．（2023上·广东清远·高三统考期末）已知P为双曲线C：上异于顶点，的任意一点，直线，的斜率分别为，，写出满足C的焦距小于8且的C的一个标准方程： .
15．（2022上·广东汕头·高三金山中学校考期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是 .
16．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则 .
17．（2022上·广东深圳·高三统考期末）在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、、三点，若四边形的面积为，则的离心率为 ．
三、解答题
18．（2021上·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知抛物线：上的点到焦点的距离为.
(1)求点的坐标及抛物线的方程；
(2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
19．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)是双曲线上不同的三点，且两点关于轴对称，的外接圆经过原点.求证：直线与圆相切.
20．（2023上·广东揭阳·高三统考期末）已知F是抛物线E：的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点.当轴时，（O为坐标原点）的面积为2.
(1)求E的方程；
(2)设过点F的直线与E交于C，D两点，且.当时，求直线l的方程.
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，可知，，由进行运算，即可求出的值.
【详解】解：因为椭圆的焦距为6，
可知，则，所以，
所以，解得：.
故选：A.
2．D
【分析】由渐近线求出，进而求出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，，，离心率，
故选：D．
3．D
【分析】根据抛物线方程求出抛物线的焦点为，再利用三角形的重心公式可得点的横坐标所满足的关系，结合焦点弦长与点的坐标关系，即可求得的值.
【详解】因为抛物线，所以抛物线的焦点为，
设点的坐标分别为，
因为若的重心的横坐标为10，所以，可得.
又直线过抛物线的焦点，
根据抛物线的几何性质，得.
故选：D.
4．B
【分析】设，的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得的表达式，再由的中点到轴的距离是6可得，的横坐标之和，进而可得的值，求出抛物线的方程，设直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理可求出三角形的面积．
【详解】设，，，，
由抛物线的定义可得，
又因为的中点到轴的距离是6，所以，
所以，
所以抛物线的方程为：，
设直线的方程，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得，
，
所以，
解得，所以的方程为：，
.
故选：B
5．D
【分析】根据双曲线的对称性及平面几何知识，可得为直角三角形，且，，再根据双曲线的定义可求解.
【详解】设为双曲线左焦点，连接，，，由平面几何知识可知，根据对称性，四边形为矩形，在中，，所以，，根据双曲线的定义可知.故选:D．
6．C
【分析】根据抛物线定义结合，求得点P的坐标，即可求得答案.
【详解】由题意F为抛物线的焦点，则,且准线方程为，
设,由可得,代入得，
即,故,
故选：C
7．B
【分析】设，双曲线的渐近线，，运用点到直线的距离公式和向量的中点表示，以及垂直平分线的性质，推导出的值，求出，进而可得双曲线的离心率．
【详解】设，双曲线的渐近线，，
由，，可得，
由可知为线段的中点，
又可得直线为线段的垂直平分线，
由，即，可得，
，因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查向量的中点表示，以及垂直平分线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
8．D
【解析】设椭圆的标准方程为．由于，，，解出即可．
【详解】解：设椭圆的标准方程为．
，，，
解得，，．
椭圆的标准方程为：．
故选：．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．
9．A
【解析】以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,可得,又有,则,则可得一条渐近线方程为,进而求解即可
【详解】由题,以为直径的圆与的一条渐近线交于点,则,
因为,所以,,
设原点为,因为为的中点,所以在中,,所以,
所以一条渐近线方程为,即,
所以,
故选:A
【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查数形结合思想
10．
【分析】由椭圆的定义可得，由圆的切线性质列方程可得的关系，由此可求离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，则
由已知，，又由椭圆定义可得，
故，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以椭圆的离心率，
故答案为：.
11．(答案不唯一).
【分析】利用双曲线的离心率公式及焦点在轴上即可求解.
【详解】由于双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
因为双曲线的离心率为，
所以，解得.
所以写出一个同时满足下列条件①②双曲线的标准方程可以为.
故答案为：(答案不唯一).
12．
【分析】设，计算可得，从而可求的值.
【详解】由抛物线的方程可得，设，则，
则,
故，故，
故答案为：4.
13．
【分析】在中，由正弦定理可得，再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”，即可得解.
【详解】在中，，由正弦定理得，
，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以，
所以，在中，由，
得，即，所以，又，所以，
故答案为：
14．（答案不唯一）
【分析】首先设点，，，根据条件转化为关于的不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.
【详解】设，，，
，
所以，取，则，，
所以满足条件的双曲线的标准方程是.
故答案为：（答案不唯一）
15．
【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.
【详解】
设过的两条直线与圆分别切于点，
由两条切线相互垂直，知：，
又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
所以，即得，所以，
所以椭圆C1的离心率，又，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.
16．1
【分析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解.
【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点，
当时，过点的切线方程为，
当时，设过点的切线方程为，即，
代入双曲线方程化简为，
则且，
因为，所以，所以，
在点处的切线方程为，当也符合；
且点A，B又在切线l上
，
故答案为：1
17．
【分析】不妨设点为双曲线的右焦点，则，求出点、的坐标，可得出关于、、的齐次等式，进而可求得双曲线的离心率的值.
【详解】不妨设点为双曲线的右焦点，则，
则以为圆心，且过原点的圆的方程为，
联立，解得或，
不妨设点，由对称性可知点，
由已知可得，即，
即，由已知，解得，
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：.
18．(1)点的坐标为或，抛物线的标准方程为；
(2)点在定直线上，证明见解析.
【分析】（1）由条件结合抛物线的定义可求，由此可得抛物线方程，由点在抛物线上求，可得点的坐标；
（2）由条件设直线方程为，联立直线与抛物线方程，由设而不求法可得，利用导数的几何意义求切线的方程，求交点的坐标，由此证明结论.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
因为点到抛物线的焦点的距离为，
由抛物线定义可得，点到准线的距离为，
所以，故，
所以抛物线的标准方程为，
由已知，所以，
所以点的坐标为或；
（2）因为过点，
由题可知直线的斜率存在，所以设直线l方程为，
与抛物线联立得，
方程的判别式，
设，，则，，
由，得，则，
所以抛物线在点处的切线的方程为，
抛物线在点处的切线的方程为，
联立的方程得，
即点坐标为.
又，，
所以点在定直线上.

【点睛】知识点点睛：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，同时考查运算求解的能力，属于较难题.
19．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，即可求得、、的值，进而得到椭圆的方程，再根据题意设，可得，可求得、的值，进而得到双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为，设，联立，根据韦达定理可得，再设的外接圆为，消去，可得，进而求证即可.
【详解】（1）根据题意得，又，解得，
，所以椭圆的方程为，将代入圆的方程，
椭圆的焦点坐标为，长轴上两个顶点坐标为，
依题意，设双曲线，
则，解得，
所以双曲线的方程是，即.
（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，
联立，整理得，
则，
由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，
将代入圆的方程得，
消去得，
又，，
，
化简得，
，，
由，
则原点到直线的距离，
即直线与圆相切.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）由抛物线的通径代入三角形的面积公式计算可得结果.
（2）联立直线l的方程与抛物线方程，由韦达定理及抛物线定义得，同理可得，进而得，由抛物线的定义可得，进而得，代入计算可得结果.
【详解】（1）当轴时，AB为抛物线E的通径，此时.
易知，所以OF是△OAB的高，
所以△OAB的面积，解得，
所以E的方程为.
（2）由题意可设直线l的方程为，，，
联立，得，，
则，.
根据抛物线的定义，得，，
所以，
整理得.
设直线的方程为，同理可得.
因为，所以，
解得（舍去）或，即，
所以，
同理可得.
当时，即，解得，
所以直线l的方程为或.