03空间向量与立体几何-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019

这是一份03空间向量与立体几何-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022上·广东揭阳·高二统考期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022上·广东茂名·高二统考期末）已知向量，则（ ）
A．B．4C．5D．
5．（2023上·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，两两垂直，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·广东深圳·高二统考期末）已知空间向量，则实数（ ）
A．0B．C．D．2
9．（2022上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
10．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ．
11．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ．
12．（2022上·广东深圳·高二统考期末）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ．
13．（2023上·广东广州·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 .
14．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为 ．
15．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知向量，且，则 .
16．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，，若，则 ．
17．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为 ．
三、解答题
18．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）如图，在三棱台中，已知平面平面，，，．

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
19．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为．
(1)求的长；
(2)求点到平面的距离．
20．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．
(1)用基底表示向量，，，；
(2)证明：平面．
参考答案：
1．C
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量共面定理，依次判断四个选项即可.
【详解】对于A，，所以三个向量共面，故A错误，
对于B，，所以三个向量共面，故B错误，
对于C，假设三个向量共面，则存在非零实数，，满足，整理可得，因为，，不共面，所以，无解，所以假设不成立，则三个向量不共面，故C正确，
对于D，，所以三个向量共面，故D错误.
故选：C
2．A
【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积．
【详解】解：建系如图，

正方体的内切球的表面积为，则内切球半径，
易得正方体的棱长为1，
，0，，，1，，，1，，设，0，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面的夹角的正弦值为：
，
令，，，，，
，
令，，，，，
，，，
当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值，
此时直线与平面的夹角也最大，
当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点，
此时平面的法向量，又，
点到平面的距离为，
此时，，则△的面积为，
此时四面体的体积，
故选：．
【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高．
3．B
【分析】根据空间向量的坐标表示，利用向量相等列方程组即可求出结果．
【详解】因为向量在基底下的坐标为，即，
设，、、，
所以，
令，解得，，；
所以在基底下的坐标为．
故选：B.
4．D
【分析】根据空间向量的线性坐标运算及模长公式求解即可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：D.
5．C
【分析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.
【详解】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，.
所以,.
设直线与夹角为，则.
故选：C.
6．B
【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
7．D
【分析】将三棱锥放在一个长方体中，建立空间直角坐标系，求出向量，代入夹角公式即可求解.
【详解】依题意，把三棱锥放在长方体中，如图所示：
因为，
以为空间直角坐标系原点，分别为轴，
建立空间直角坐标系，则有：
，，，，
所以，，
所以.
故选：D.
8．C
【分析】利用空间共线向量的坐标运算即可求出结果.
【详解】由，
得到，解得.
故选：C
9．B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
【详解】解：是的中点，是上靠近点的四等分点，
则．
故选：B．
10．
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用已知条件列方程，得出点的纵坐标和竖坐标的关系，再由空间向量数量积的坐标运算求解．
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

因为，则，，，，
设，，
因为，，，
所以，即，
由，得，则，，，
则，，
则
，
所以当，时，取得最小值；
当或，时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
11．/
【分析】根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由题意建立如图空间直角坐标系，设，()，，，，利用空间向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如图空间直角坐标系，
设，()，，，
则，，
得，，
所以，，
得，
有
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以，即线段MN的最小长度为.
故答案为：.
12．
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.
【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，
，
所以，解得.
故答案为：-4.
13．
【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值.
【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且
则，设平面的法向量为，又
则，令，则
因为平面，所以，即，
则，所以
则，
由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为.
故答案为：.
14．
【分析】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，记，则，利用空间数量积的运算性质可得出，即可求得的最小值.
【详解】过点在平面内作直线，垂足为点，
过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示：
，，
记，则，，则，，
因为二面角的大小为，则、的夹角为，
，
且，
所以，
，
即，当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，线段长度的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
15．
【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出，进而求出模长.
【详解】因为，所以，解得：，
故.
故答案为：
16．
【分析】根据空间向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】因为，，若，则，解得.
故答案为：.
17．/
【分析】求出，得到点到平面的距离公式求出答案.
【详解】因为，
所以Q到平面的距离为.
故答案为：
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明和，得到平面，可得．
（2）通过建立空间直角坐标系，分别计算平面与平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．
【详解】（1）证明：延长，，相交于点，如图所示，
平面平面，平面平面，
平面，，则平面，
平面，．
又，，，为等边三角形，且为的中点，则，
平面，，
平面，平面，
．

（2）取的中点，则，又平面平面，平面平面，
平面，平面，
以点为原点，分别以，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．
可得：， ，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，令，可得，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，令，可得，，
平面的一个法向量为，
．
二面角的余弦值为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）结合（1）中结论，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为为直三棱柱，所以平面.
因为，所以.
可以以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，所以，、令，则，，即，
取平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角为，
所以，解得.
即长为.
（2）由（1）知平面的一个法向量为.
因为，
所以点到平面的距离为.
20．(1)，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量基本定理和向量的线性运算直接求解；
（2）先利用向量法证明出和，再利用线面垂直的判定定理直接证明.
【详解】（1）因为，
，，，
所以，，，.
（2）不妨设，，
所以
，即，
又因为
，即，
又，平面，平面.
所以平面.