06圆锥曲线方程（双曲线）-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，20

这是一份06圆锥曲线方程（双曲线）-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，20，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·广东广州·高二广州市真光中学校考期末）双曲线：的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．4
2．（2023上·广东揭阳·高二统考期末）已知双曲线的两焦点分别为，，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．16B．18C．4或6D．2或18
3．（2023上·广东广州·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·广东广州·高二统考期末）双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·广东肇庆·高二统考期末）已知双曲线的方程为，且双曲线的一条渐近线的倾斜角满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·广东肇庆·高二统考期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3B．6C．12D．6
二、填空题
10．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆与双曲线的交点分别为，则四边形的面积为 ．
11．（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知双曲线经过点，则离心率为 .
12．（2023上·广东深圳·高二校考期末）点P是圆B：上任意一点，，线段的中垂线交直线于点M，当时，点M的轨迹方程为 ；当时，点M的轨迹方程为 ．
13．（2023上·广东江门·高二统考期末）若双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ．
14．（2023上·广东汕头·高二统考期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的离心率为 .
15．（2023下·广东湛江·高二统考期末）已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 ．
16．（2023上·广东佛山·高二统考期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为 .
三、解答题
17．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知双曲线C：的右焦点为，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设A、B分别为双曲线C的左、右顶点，若过点F的直线l交双曲线C的右支于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为、，是否存在实数λ使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
18．（2023上·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上．
(1)求C的方程；
(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率．
19．（2023上·广东清远·高二统考期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
20．（2023上·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．
(1)求b的值，并证明：；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．
参考答案：
1．B
【分析】根据直线和圆相切列方程，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线为，
圆的圆心为，半径为，
由于渐近线和圆相切，所以，
解得.
故选：B
2．D
【分析】利用双曲线的定义即可求解.
【详解】由双曲线定义可得，
解得或，
故选：D
3．A
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
4．B
【分析】由双曲线的方程知再由求得，即可求得双曲线的离心率.
【详解】由双曲线知，则，
则离心率.
故选：B
5．B
【分析】利用二倍角的正切公式求出，即可得，再根据离心率公式即可得解.
【详解】，解得或，
又因为，所以，
即，
所以该双曲线的离心率.
故选：B.
6．A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，(分别为椭圆的长半轴长及双曲线的实半轴长)，从而得，再代入中，求解即可.
【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为，半焦距为，
则有，
又因为点为与在第一象限内的公共点，且满足，
所以且，
由椭圆的定义可得，
所以，
由双曲线的定义可得，
所以，
所以
所以，
又因为，
解得(舍)或，
故选：A.
7．A
【分析】由两点间距离公式可得 ，根据题中条件，得到，结合双曲线的定义，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，，，
因为 都在椭圆上，
所以，，
故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，
又，，即，，所以，
因此的轨迹方程是（）.
故选：A.
【点晴】方法点睛：
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
8．C
【分析】连接，求出、，利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示，易知点、关于轴对称，连接，所以，，
由圆的几何性质可得，所以，，，
由双曲线的定义可得，
因此，双曲线的离心率为.
故选：C.
9．B
【分析】根据双曲线的焦距得到c=6，根据双曲线为等轴双曲线得到a=b，然后利用列方程得到a=3，即可得到实轴长.
【详解】因为2c=12，所以c=6．因为a=b，所以2a2=c2=36，所以a=3，故实轴长为6．
故选：B.
10．
【分析】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形，联立椭圆和双曲线方程解出交点坐标即可求解.
【详解】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形，
联立，解得，
所以，
故答案为：
11．
【分析】根据经过的点可得，进而根据双曲线方程得，由离心率公式即可求解.
【详解】双曲线经过点，所以，解得，
所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，，
所以它的离心率为.
故答案为：.
12． ； .
【分析】第一空，作图分析，结合题意可得，根据椭圆的定义即可求得答案；第二空，由题意可推出，根据双曲线定义，即可求得答案.
【详解】当时，圆B：半径为，点A在圆内，如图，
此时,所以，
而,故点M的轨迹是以为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则，
故点M的轨迹方程为；
当时，圆B：半径为，点A在圆外，如图，
线段的中垂线交延长线于点M，
此时,所以，
而,故点M的轨迹是以为焦点的双曲线，
设双曲线方程为，则，
故点M的轨迹方程为，
故答案为：；
13．
【分析】设双曲线的方程为：，进而得，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，
所以，设双曲线的方程为：，
因为渐近线方程为，虚轴长为，
所以，解得，
所以，双曲线的标准方程为：
故答案为：
14．/
【分析】设（），则，，由勾股定理得，由双曲线的定义求得关系，再由双曲线的定义求得，然后由勾股定理求得与的关系，计算可得离心率．
【详解】由题意可设（），则，，由勾股定理明显有，
又由双曲线定义可知，所以
又即，
所以
所以离心率.
故答案为：.
15．4
【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】由双曲线经过点，则
，①
双曲线离心率为：，②
又，③
联立①②③解得：，
所以双曲线标准方程为：
所以双曲线的一个焦点为，
一条渐近线为，
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为：
，
故答案为：4.
16．
【分析】设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得的关系，进而可得渐近线方程．
【详解】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，，
则的周长为
,
当且仅当共线时，取得最小值，且为，
由题意可得，即
解得，
则渐近线方程为
故答案为：.
17．(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）由条件列方程组解得参数即可；
（2）设直线为，联立双曲线方程消x，结合韦达定理可表示出，再由与的关系消元，从而得出的定值比值.
【详解】（1）由题意得，，解得，故双曲线C的标准方程为；
（2）直线l交双曲线C的右支于M、N两点，故斜率不为0，设为，联立双曲线方程化简得，
，则，
直线l与右支交于两点，则，则，
，，，
，
∵，∴，
∴，
∴存在使得
【点睛】（1）直线与圆锥曲线的定值问题，一般是借助韦达定理将内容表示出来，再根据式子的特征进一步化简求值.
（2）本题直线设成的形式，方便处理直线斜率不为0的情形（包括斜率不存在），也方便表示.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用渐近线方程可得，再将点代入即可求得结果；（2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理并根据向量定比即可求得l的斜率．
【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以，
可得，
将代入可得，解得；
所以双曲线C的方程为.
（2）由（1）可知，上焦点，
设直线l的斜率为，，则直线l的方程为，
联立整理得；
所以
又，即，可得，
所以，即，解得；
所以直线l的斜率为
19．(1)-=1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线与双曲线联立消，求出韦达定理的表达式，根据DG⊥EF求出的关系式，代入直线即可求出定点H.
【详解】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2，
故双曲线C的标准方程为-=1，
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9
=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，
化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0
当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，
当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，
联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.
【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
20．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，进而根据分析法即可求解，
（2）联立方程，由韦达定理以及弦长公式即可求解.
【详解】（1）的渐近线方程为，故，
双曲线方程为，在双曲线上，所以，
要证，只需证，由于，若，显然成立，若时，只需要证明，即证，因此只需要证明，由，得，而，故成立，因此
（2）联立直线与双曲线方程，
设,则，所以由弦长公式得：，