07圆锥曲线方程（抛物线）-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，20

这是一份07圆锥曲线方程（抛物线）-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，20，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·广东广州·高二校联考期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.已知是一个定值，则该定值为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023上·广东广州·高二统考期末）若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）
A．B．2C．4D．5
4．（2023上·广东梅州·高二统考期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·广东江门·高二统考期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（ ）
A．16B．20C．4D．8
6．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，点是线段的中点，以为直径的圆与轴相交于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（ ）
A．B．或
C．D．或
二、填空题
10．（2023上·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则 ．
11．（2023上·广东广州·高二统考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为 .
12．（2023上·广东肇庆·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为.过焦点的一条直线交抛物线于点，（在第一象限）.分别过点，作准线的垂线，交准线于，.若，，则的值为 .
13．（2023上·广东广州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，若与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为 .
14．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 .
15．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为 .
16．（2023上·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）已知曲线（）与抛物线的准线相切，则 .
三、解答题
17．（2023上·广东揭阳·高二统考期末）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每增加一层货箱，船体连货物高度整体上升4 cm；每减少一层货箱，船体连货物高度整体下降4 cm．且货物顶部与桥壁在竖直方向需留2 cm间隙方可通过，问船只最多增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
18．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过．
(1)求的方程；
(2)若直线过的焦点，且与交于，两点，，求的方程．
19．（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求面积的最小值.
参考答案：
1．C
【分析】利用抛物线的定义即可求解.
【详解】因为点到轴的距离为，所以点P的横坐标为，所以点P的纵坐标，
抛物线的准线为.
所以到抛物线准线的距离为，即点到该抛物线焦点的距离为.
故选：C
2．D
【分析】设出直线的方程并与抛物线方程联立，求得，由此求得定值.
【详解】，设，
依题意可知直线的斜率存在，设其方程为，
由消去并化简得，
则，
所以弦的垂直平分线为，
令解得，
所以，
而，所以.
故选：D
3．D
【分析】由方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，进而由抛物线的定义可得：，解之可得值.
【详解】由题意可得：抛物线开口向右，
焦点坐标为，准线方程为：，
因为抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得：
，解之可得：，
故选：.
4．D
【分析】建立适当直角坐标系，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求出答案.
【详解】
如图，设口径的轴截面为.
以点为坐标原点，以的垂直平分线为轴，过点作的平行线为轴，建立平面直角坐标系.
则由已知可设抛物线的方程为，点坐标为，
将点坐标代入抛物线方程可得，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：D.
5．A
【分析】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值.
【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于，
因为，所以，设，
在中，，
显然，又由抛物线的定义得，
所以，解得：，即.
故选：A.
6．A
【分析】由，求得A，B的坐标，进而得到的中点M的坐标，写出圆的方程，令，求得P，Q的坐标， 然后利用求解.
【详解】如图所示：
由抛物线的焦点坐标可得，所以，
所以抛物线的方程为：，
设直线的方程为：，设，，设A在轴上方，
联立，整理可得：，
可得：①，
由，即，
可得，代入①可得：，
所以，
代入抛物线的方程可得：，，
即，，
所以的中点，
所以，即圆的直径为，
所以圆的方程为，
令，可得，
所以，，
所以，
所以，
故选：A．
7．D
【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.
【详解】在中，令，由余弦定理得，
则有，
显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如图，
而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，，
因此，
当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
8．A
【分析】结合中点坐标用点差法求得.
【详解】∵，故右焦点，则，
设，则，
且，
两式相减得，
故,
故，故,
故椭圆方程为，
故选：A.
9．B
【分析】由题知，，设，进而根据焦半径公式得，再代入求解即可得答案
【详解】解：由题知，，设，
因为点在抛物线上，所以由焦半径公式得，解得
所以，解得，
所以，点的坐标为或
故选：B
10．
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线，所以,
因为是抛物线的焦点，点在抛物线上，
由抛物线的定义可得：.
故答案为：.
11．
【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，，，对应的坐标为，代入抛物线，解得答案.
【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，
抛物线方程为，，
设，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为，
则，解得，故拱顶点O离水面l的距离为.
故答案为：
12．
【分析】设过的直线方程为，联立抛物线的方程，可得，进而根据抛物线的定义与几何关系求解即可.
【详解】设过的直线方程为，，联立可得，故.
易得，故，即.
故，则，解得.
故答案为：
13．/
【分析】先求得然后根据三角形的面积求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】由于抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，所以直线的方程为，
双曲线的一条渐近线方程为，
令得，
所以与双曲线两条渐近线所围成的三角形面积为，
所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
14．/
【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值.
【详解】易知点，设点、，
因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，
联立可得，解得，，
由抛物线的定义可得，可得，
因此，.
故答案为：.
15．或
【分析】根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解得，即可求解．
【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点，
根据题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，
因为，
解得，，
则直线的方程为或．
故答案为：或．
16．
【分析】确定抛物线的准线为，得到得到答案.
【详解】抛物线的准线为，曲线与相切，
故且，则.
故答案为：
17．(1)货箱能顺利通过该桥；
(2)增加26层.
【分析】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．求出抛物线的方程为，可设C，过C作AB的垂线，交抛物线于D，求出即得解；
（2）求出货物超出高度即得解.
【详解】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系．
设抛物线方程为，
根据题意知点B在抛物线上；
∴25＝—4m，∴，∴；
可设C，过C作AB的垂线，交抛物线于D，
则，∴．
∵．∴货箱能顺利通过该桥．
（2）由题知，货物超出高度为，
因为每增加一层船体连货物高度整体上升4cm，且货物与桥壁需留下2cm间隙．
所以需要增加层数为层，
因此，船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
18．(1)
(2).
【分析】（1）用待定系数法求出的方程；
（2）分类讨论：①当直线的斜率不存在时，②当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，利用“设而不求法”和抛物线的焦半径公式直接求解.
【详解】（1）设的方程为，
因为经过，所以，即，
所以的方程为.
（2）由（1）知抛物线的焦点为，准线方程为.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时（舍）.
②当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，
将代入得，
所以.
所以，解得.
所以直线的方程为
19．(1)
(2)4
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得结果；（2）设出直线的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理写出的面积表达式即可求得其最小值.
【详解】（1）由抛物线经过点知，
解得，
则抛物线的方程为；
（2）由题知，直线不与轴垂直，设直线，
由消去，得，
，设，
则，
因为，所以即，所以
解得（舍去）或，
所以即，
所以直线，所以直线过定点，
当且仅当或时，等号成立，
所以面积的最小值为4.
【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0
不妨设直线方程为，代入由可得
当且仅当时等号成立
所以面积的最小值为4
【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时，
当直线斜率存在时，设直线，
由消去，得，
则，
因为，所以即，
所以
解得（舍去）或，
所以直线，所以直线过定点，
综上：面积的最小值为4.