2023-2024学年四川省绵阳市涪城区示范学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市涪城区示范学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，y是x的二次函数是( )
A. y=3x−1B. y=1x2
C. y=x2+xD. y=3(x−1)(x+1)−3x2
2.下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. “翻开九年上册数学课本，恰好是第88页”是不可能事件
B. “太阳从西方升起”是必然事件
C. “明天会下雨”描述的事件是随机事件
D. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
4.如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
5.关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2=0有实数根，则m的最大整数解是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=−3x2向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为( )
A. y=−3(x−4)2B. y=−3x2+4C. y=−3x2−4D. y=−3(x+4)2
7.如图，AB=16，裁出扇形ABM围成一个无底圆锥，则圆锥底面半径为( )
A. 4
B. 16
C. 4 2
D. 8
8.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(−2,8)，则该函数的图象位于( )
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第三、四象限D. 第二、三象限
9.如图，在⊙O中，AB是直径，C、D是⊙O上的两个点，OC//AD.若∠DAC=25°，则∠BOC的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 65°
10.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点.以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π−1B. π−3C. π−2D. 4−π
11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′BC′，连接AC′、AA′，则∠CAC′的度数为( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
12.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的局部对应值如表：
以下结论：
①ac<0；
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x=2时，y=5；
④3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根．
其中正确的结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若a2=b3=c4且a−b+c=2，则a+b−c的值为______ ．
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD=130°，则∠C的度数是 °.
15.一个不透明盒子里装有6个除颜色外无其他任何差别的球，从盒子中随机摸出一个球，若P(摸出红球)=13，则盒子里有______ 个红球．
16.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2,0)、B(5,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x−1)2+bx=b−c的解是______ ．
17.如图，点A在反比例y=8x(x>0)图象上，⊙A与y轴切于点B，交x轴于点C、D.若点B的坐标为(0,2)则图中阴影部分面积为______ ．
18.如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB=120°，动点P在⊙O上运动(不与A，B重合)，点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)解方程：x2−4x−5=0．
(2)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,−1)．
①把△ABC向上平移3个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
③以A为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90度，画出旋转后的△A3B3C3并求出边AB扫过的图形的面积．
20.(本小题12分)
2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采!为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 名，补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ;
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少?
21.(本小题14分)
已知关于x的方程x2+ax+a−3=0．
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
22.(本小题12分)
已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(−2,1)，B(1,n)两点．
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)用不同颜色的笔在反比例函数和一次函数图象上画出y>0的部分．
23.(本小题14分)
如图，为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长16米)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，且不超过墙的长度，另三边用总长为40米的栅栏围住．
(1)若墙AB的长为16m时，此矩形绿化带ABCD的面积为______ ；当矩形绿化带ABCD的面积为182时，墙BC的长为______ ；
(2)当墙AB的长度为多少米时，矩形绿化带ABCD的面积最大？最大面积是多少m2？
24.(本小题14分)
如图1，在⊙O中，AC为直径，D在AB上，B为CD中点，过B作BF⊥AD于F．
(1)求证：BF为⊙O的切线；
(2)如图2，连接DO并延长交AB于G，交⊙O于E，连接BE，若AG=AD=1，求DF．
25.(本小题14分)
如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的关系式；
(2)M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积；
(3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.y=1x2不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.y=x2+x，y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D.y=3(x−1)(x+1)−3x2
=3x2−3−3x2
=3y，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．
2.【答案】A
【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、、“翻开九年数学书，恰好是第35页”是随机事件，故本选项不符合题意；
B、“太阳从西方升起”是不可能事件，故本选项不符合题意；
C“明天会下雨”是随机事件，故本选项正确，符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据概率的意义逐项进行判断即可．
此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
4.【答案】A
【解析】解：连接OB，OA，如图，
∵BM与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BM，
∴∠OBM=90°，
∴∠OBA=∠ABM−∠OBM=140°−90°=50°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，
∴∠ACB=12∠AOB=40°．
故选：A．
连接OB，OA，如图，根据切线的性质得∠OBM=90°，则可计算出∠OBA=50°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
根据方程有实数根得出△≥0，根据一元二次方程的定义得到m−5≠0，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(m−5)x2+2x+2=0有实根，
∴△=22−4(m−5)×2≥0且m−5≠0，
解得：m≤5.5且m≠5，
m的最大整数解为4，
故选C．
6.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=−3x2向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为y=−3x2−4，
故选：C．
根据二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可．
本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设圆锥底面半径为r，
根据题意得2πr=90×π×16180，
解得r=4，
即圆锥底面半径为4．
故选：A．
设圆锥底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr=90×π×16180，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(−2,8)，
∴k=−16<0，
∴该函数的图象位于二、四象限；
故选：B．
根据反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k，求出k的值，再根据k<0，判断所经过象限．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵OC/​/AD，
∴∠DAC=∠ACO=25°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BOC=∠OAC+∠OCA=50°，
故选：B．
根据∠BOC=∠OAC+∠OCA，求出∠OAC=∠OCA=25°，即可解决问题．
本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，求出∠OAC=∠OCA=25°．
10.【答案】C
【解析】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD=FO=EO=EB=1，
∴OB=OD，OB=OD．
∴弓形OB=弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影=S扇形CBD−S△CBD=90π×22360−12×2×2=π−2．
故选：C．
连接BD，EF，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′BC′，
∴AB=A′B，BC′=A′C′，∠ABA′=60°，
∴△ABA′为等边三角形，
∴AB=AA′，
在△ABC′和△AA′C′中，
AB=AA′BC′=A′C′AC′=AC′，
∴△ABC′≌△AA′C′，
∴∠BAC′=∠A′AC′，
∵∠BAA′=∠BAC′+∠A′AC′=60°，
∴∠BAC′=∠A′AC′=30°，
∴∠CAC′=∠BAC−∠BAC′=15°．
故选：A．
根据题意可得∠BAC=∠ABC=45°，由旋转的性质可得AB=A′B，BC′=A′C′，∠ABA′=60°，则△ABA′为等边三角形，易证明△ABC′≌△AA′C′，根据全等三角形的性质得∠BAC′=∠A′AC′=30°，则∠CAC′=∠BAC−∠BAC′，以此即可求解．
本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用旋转的性质是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：由表格可得x=−1，0，1时，y=−1，3，5，
∴a−b+c=−1c=3a+b+c=5，
解得a=−1b=3c=3，
∴y=−x2+3x+3，
∴ac=−3<0．
故①正确；
∵当x=0和x=3时，对应的y的值相等，
∴抛物线对称轴为直线x=0+32=32，抛物线开口向下，
∴当1故②不正确；
③当x=2时，y=−22+3×2+3=5．
故③正确；
∵a=−1b=3c=3，
由ax2+(b−1)x+c=0可得−x2+2x+3=0，
解得x1=−1，x2=3，
故④正确；
∵抛物线y=−x2+2x+3开口向下，由③可得抛物线经过(−1,0)，(3,0)，
∴当−10．
故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
通过待定系数法可得抛物线解析式，从而可得抛物线对称轴及开口方向，根据a，b，c的值可得方程ax2+(b−1)x+c=0的根及二次函数图象上点的坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与方程及不等式的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
13.【答案】23
【解析】解：设a=2k，b=3k，c=4k，(k≠0)，
∵a−b+c=2，
∴2k−3k+4k=2，
解得：k=23，
∴a=43，b=2，c=83，
∴a+b−c=43+2−83=23．
故答案为：23．
设a=2k，b=3k，c=4k，根据a−b+c=2，求出k的值，从而得出a、b、c的值，然后代入要求的式子进行解答即可．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14.【答案】115
【解析】解：∵∠BOD=2∠A，∠BOD=130°，
∴∠A=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=115°，
故答案为：115．
根据圆周角定理求出∠A=65°，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：设红球有x个，
∵从盒子中随机摸出一个球，P(摸出红球)=13，
∴x6=13，
解得：x=2，
∴盒子里有2个红球．
故答案为：2．
设红球有x个，利用红球的概率为13，再根据概率公式列方程计算即可得解．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】x1=−1，x2=6
【解析】解：∵y=ax2+bx+c经过点A(−2,0)、B(5,0)，
∴y=a(x+2)(x−5)
=ax2−3ax−10a，
∴b=−3a，c=−10a，
∴a(x−1)2+bx=b−c可化为，
a(x−1)2−3ax=−3a+10a，
∴(x−1)2−3x=7，
整理得，x2−5x−6=0，
∴(x−6)(x+1)=0，
∴x1=6，x2=−1；
故答案为：x1=6，x2=−1．
根据y=ax2+bx+c经过点A(−2,0)、B(5,0)，用交点式求二次函数解析式的方法，把原式化为y=a(x+2)(x−5)，去掉括号，对应求出a、b的代数式，代入一元二次方程后，先约去a，整理一元二次方程为x2−5x−6=0，用因式分解法解出方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握交点式求二次函数解析式的方法，求出a、b的代数式代入一元二次方程是解题关键．
17.【答案】163π−4 3
【解析】解：连接AB，AC，AD，作AE⊥CD于E，
∵⊙A与y轴切于点B，
∴AB⊥y轴，
∴四边形ABOE是矩形，
∵点B的坐标为(0,2)，
∴AE=OB=2，
∵点A在反比例y=8x(x>0)图象上，
∴A(4,2)，
∴AC=AD=AB=4，
在Rt△ACE中，AC=4，AE=2，
∴sin∠ACE=AEAC=12，CE= AC2−AE2=2 3，
∴∠ACE=30°，
∴∠ADC=∠ACE=30°，
∴∠CAD=120°，
∵AE⊥CE，
∴CE=DE=12CD=2 3，
∴CD=4 3，
∴S阴影=S扇形ACD−S△ACD=120π×42360−12×4 3×2=163π−4 3．
故答案为：163π−4 3．
连接AB，AC，AD，作AE⊥CD于E，根据切线的定义和反比例函数图象上点的坐标特征求得A(4,2)，即可求得圆的半径为4，进而求得sin∠ACE=AEAC=12，CE= AC2−AE2=2 3，即可得到∠ADC=∠ACE=30°，∠CAD=120°，利用垂径定理求得CD=4 3，然后利用S阴影=S扇形ACD−S△ACD，即可求得阴影的面积．
本题考查了切线的性质，垂径定理，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征以及扇形的面积等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
18.【答案】4 7−4
【解析】解：如图1，取OB的中点E，连接OE，OP，
∵点Q为线段BP的中点，点E为OB的中点，
∴QE为△BOP的中位线，
∴QE=12OP=12×8=4，
∴点Q的轨迹为以点E为圆心，4为半径的圆，
如下图所示，作AF⊥OB交BO的延长线于点F，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值，
∵∠AOB=120°，∠AOB=∠F+∠OAF，
∴∠OAF=∠AOB−∠F=120°−90°=30°，
∴OF=12OA=12×8=4，
∴AF= OA2−OF2= 82−42=4 3，
在Rt△EFA中，EF=OF+OE=4+4=8，AF=4 3，
∴AE= AF2+EF2= (4 3)2+82=4 7，
∴AQ=AE−EQ=4 7−4，
∴线段AQ长度的最小值是4 7−4，
故答案为：4 7−4．
取OB的中点E，连接OE，OP，可得QE为△BOP的中位线，推出QE=12OP=4，进而可得点Q的轨迹为点E为圆心，4为半径的圆，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值，作辅助线构造直角三角形即可求解．
本题考查三角形中位线的性质，圆内动点的轨迹，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离，含30度角的直角三角形的性质等，确定点Q的轨迹是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
∴x−5=0或x+1=0，
解得x=5或x=−1．
(2)

①如图，△A1B1C1即为所求．
②如图，△A2B2C2即为所求．
③如图，△A3B3C3即为所求．
边AB扫过的图形的面积为90π×42360=4π．
【解析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可．
(2)①根据平移的性质作图即可．
②根据中心对称的性质作图即可．
③根据旋转的性质作图即可，利用扇形的面积公式可得答案．
本题考查解一元二次方程、作图−平移变换、旋转变换、中心对称、扇形的面积公式，熟练掌握一元二次方程的解法、平移、旋转、中心对称的性质以及扇形的面积公式是解答本题的关键．
20.【答案】100 36°
【解析】解：(1)本次被调查的学生人数为30÷30%=100(名)．
选择“足球”的人数为35%×100=35(名)．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 10100×360°=36°．
故答案为：36°．
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16．
(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
(2)用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=a2−4(a−3)=a2−4a+12=(a−2)2+8>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)解：当x=1时，12+a⋅1+a−3=0，
∴a=1，
当a=1时，
原方程化为x2+x−2=0，
解得x1=1，x2=−2，
∴该方程的另一个根为2．
【解析】(1)证明方程根的判别式Δ>0即可；
(2)先把x=1代入原方程求出a的值，再解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)点A(−2,1)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=(−2)×1=−2，
∴反比例函数的表达式为y=−2x，
∵点B(1,n)也在反比例函数的y=−2x图象上，
∴n=−2，
即B(1,−2)
把点A(−2,1)，点B(1,−2)代入一次函数y=kx+b中，得−2k+b=1k+b=−2，
解得k=−1b=−1，
∴一次函数的表达式为y=−x−1，
答：反比例函数的表达式是y=−2x，一次函数的表达式是y=−x−1．
(2)设直线AB与x轴的交点为C，
在y=−x−1中，当y=0时，得x=−1
∴直线y=−x−1与x轴的交点为C(−1,0)
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×1+12×1×2=12+1=32，
答：△AOB的面积是32．
(3)如图所示：

【解析】(1)把A的坐标代入求出m即可；把B的坐标代入求出n，代入求出一次函数的解析式即可；
(2)求出一次函数与X轴的交点，根据三角形的面积公式求出△AOC和△BOC的面积即可．
(1)画出图象在X轴上方的图象即可．
本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，解一元一次方程，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
23.【答案】128m2 14m
【解析】解：(1)当AB=16m时，BC=40−2×16=8(m)，
∴矩形绿化带ABCD的面积为16×8=128(m2)；
设BC的长为am，则AB的长为(20−a2)m，
∴a(20−a2)=182，
解得a1=14，a2=26(舍去)，
∴BC=14m，
故答案为：128m2；14m；
(2)设墙AB的长为x m，矩形绿化带ABCD的面积为ym2，则墙BC的长为(40−2x)m，
由题意得：y=x(40−2x)=−2x2+40x=−2(x−10)2+200，
∵墙长16米，
∴0<40−2x≤16，
解得12≤x<20
∵a=−2<0，
∴当x>10时，y随x的增大而减小，
∴当x=12时，y最大，最大值为192，
答：当墙AB的长度为12m时，矩形绿化带ABCD的面积最大，最大面积是192m2．
(1)当AB=16m时，BC=40−2×16=8(m)，然后由矩形的面积公式求面积；设BC的长为am，则AB的长为(20−a2)m，然后由矩形的面积公式列出方程，解方程求满足题意的a的值；
(2)设墙AB的长为x m，矩形绿化带ABCD的面积为ym2，则墙BC的长为(40−2x)m，由矩形的面积公式列出函数解析式，再由函数的性质以及x的取值范围求最值．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．
24.【答案】(1)证明：连接OB，

∴OB=OA，
∴∠2=∠3，
∵B为CD中点，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∵AF//OB，
∴∠OBF+∠F=180°，
∵BF⊥AD，
∴∠F=90°，
∴∠OBF=90°，
∵半径OB⊥BF于B，
∴BF为⊙O切线；
(2)连接AE，延长BO交AE于H，

∵DE为直径，
∴∠DAE=∠DBE=90°，
∵AF//BO，
∴∠BHA=180°−∠DAH=90°，
∴四边形AFBH为矩形，
∴AH=BF，AF=BH，
设DF=x，
∴BH=AF=x+1，
∵OH⊥AE于H
∴AH=EH，
∵DO=EO
∴OH为△ADE中位线，
∴OH=12AD=12，
∴OB=BH−OH=x+12，
∵AF//OB，
∴∠4=∠7，
∵AD=AG=1，
∴∠4=∠5，
∴∠5=∠6，∠6=∠7，
∴BG=OB=OA=x+12，
∴AB=BG+AG=x+32，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH2=AO2−OH2=x2+x
∴BF2=AH2=x2+x，
在Rt△AFB中，根据勾股定理得：AF2+BF2=AB2，
即(x+1)2+(x2+x)=(x+32)2，
解得：DF=x= 52．
【解析】(1)连接OB，证明∠OBF=90°即可得出结论；
(2)连接AE，延长BO交AE于H，证明四边形AFBH为矩形得AH=BF，AF=BH，得出OH为△ADE的中位线，求得AB的长，再运用勾股定理解Rt△AOH和Rt△AFB即可求得结论．
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
25.【答案】解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式可：
9a+3b+c=0c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3；
(2)如图1，连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N，

在y=x2−2x−3中，令y=0，
解得x=−1或x=3，
∴A点坐标为(−1,0)．
∴AB=3−(−1)=4，且OC=3，
∴S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴直线BC解析式为y=x−3，
设M点坐标为(x,x2−2x−3)，则N点坐标为(x,x−3)，
∵M在第四象限，
∴MN=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x，
∴S△MBC=12MN⋅OB=−32x2+92x=−32(x−32)2+278，
∴当x=32时，S△MBC=278，x2−2x−3=−154，
∴当M为(32,−154)时，四边形ABMC的面积有最大值，
最大值S四边形ABMC=S△ABC+S△MBC=6+278=758．
(3)解：在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．理由如下：
如图2，取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，

在Rt△OBC中，由勾股定理得BC= 32+32=3 2，
由题意，当∠BPC=90°时，PD=12BC=3 22，
易求D(32,−32)，抛物线的对称轴为直线x=1，
设点P坐标为(1,n)，
∴DQ=32−1=12，PQ=|n+32|，
由PQ2+DQ2=PD2，得(n+32)2+(12)2=(3 22)2，
解得n1=−3+ 172，n2=−3− 172，
∴点P的坐标为(1,−3+ 172)或(1,−3− 172)．
【解析】(1)将B，C两点坐标代入y=x2+bx+c，利用待定系数法求解；
(2)连接BC，过M作x轴的垂线交BC于点N，S四边形ABMC=S△ABC+S△MBC，其中S△ABC为定值，设M点坐标为(x,x2−2x−3)，则S△MBC=12MN⋅OB，化为顶点式，即可求出最值；
(3)取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得PD=12BC=3 22，设点P坐标为(1,n)，利用勾股定理解Rt△PQD，求出n的值即可．
本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想．x
−1
0
1
3
y
−1
3
5
3