2024南宁高二上学期期末考试数学含解析

南宁市2023～2024学年度秋季学期高二年级教学质量调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 若直线过点，，则此直线的斜率是（ ）A B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（ ）A. 48 B. 56 C. 81 D. 1003. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或4. 已知数列满足，，则 （ ）A B. 2 C. 12 D. 335. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（ ）A. 10 B. 18 C. 36 D. 407. 已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是A. 6－2 B. 8 C. 4 D. 108. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，10. 下列说法错误的有（ ）A. 若，则直线l：的斜率大于0B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为C. 斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D. 经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为11. 已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）A. 若，则是等差数列B. 若，则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且，，则12. 已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）A. 二面角的大小为B. C. 若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为D. 若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆的方程为，则圆的半径为_________．14. 已知，，，则在上的投影向量的模为_________．15 已知函数且过定点，直线过定点，则_____16. 记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长.18. 已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求前项和.19 已知圆．（1）已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；（2）若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．20. 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．22. 如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且. （1）求动点Q的轨迹方程；（2）直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围；南宁市2023～2024学年度秋季学期高二年级教学质量调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 若直线过点，，则此直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两点间的斜率公式计算出结果.【详解】因为直线经过，，所以直线的斜率为，故选：A.2. 已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（ ）A. 48 B. 56 C. 81 D. 100【答案】C【解析】【分析】由题意先列方程把求出来，再结合等差数列求和公式即可得解.【详解】设数列的首项和公差分别为和，，，.故选：C.3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】由双曲线的性质求出即可.【详解】方程表示双曲线，因为恒成立，所以，解得，故选：A．4. 已知数列满足，，则 （ ）A. B. 2 C. 12 D. 33【答案】A【解析】【分析】利用递推关系计算可得数列是周期数列，即可计算出结果.【详解】由递推公式代入计算可得；可得数列是以3为周期的周期数列，所以，故选：A.5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.【详解】由题意.故选：B.6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，则值为（ ）A. 10 B. 18 C. 36 D. 40【答案】D【解析】【分析】由已知可得，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出即可.【详解】易知，为等比数列，，代入数据可得，解得或（舍）所以.故选：D.7. 已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是A. 6－2 B. 8 C. 4 D. 10【答案】B【解析】【分析】点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．【详解】由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时， 最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=8，故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8．故选B．【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，可得，利用椭圆的性质得，再结合椭圆的定义求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得.【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图， 由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，于是，解得，，在中，，显然，解得，所以的离心率的取值范围是.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，【答案】AC【解析】【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.【详解】由题意得：如下图所示： 对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；对于D项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.故选：AC.10. 下列说法错误的有（ ）A. 若，则直线l：的斜率大于0B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为C. 斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D. 经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为【答案】ACD【解析】【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误.【详解】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，将代入，即，，即得，所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误.故选 ：ACD.11. 已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）A. 若，则是等差数列B. 若，则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且，，则【答案】BC【解析】【分析】利用，判断A，B选项正误，利用等差数列和等比数列的性质及通项公式判断C，D选项的正误.【详解】对于A，，，，所以，，因为，不符合上式，所以，不是等差数列，A错误；对于B，，，，，，因为，符合上式，所以，是等比数列，B正确；对于C，是等差数列，有，故C正确；对于D，，，，所以，D错误.故选：BC12. 已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）A. 二面角的大小为B. C. 若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为D. 若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，得到二面角的大小；B选项，由得到垂直关系；C选项，推出O在以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，求出轨迹长度；D选项，为平面的法向量，求出直线与平面所成角的正弦值，根据求出取值范围.【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，其中，对于A：，，设平面的法向量为，则，即，取，则，故.设平面的法向量为，则，即，取，则，故.故，而二面角为锐二面角，故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故A错误.对于B：，故，即，故B正确.对于C：由在正方形内部，且，若分别是上的点，且，此时，由图知：O在上，即O在以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，所以点轨迹的长度为；故C正确.对于D：设直线与平面所成的角为.因为平面，故为平面的法向量，而，故，而，故，故D正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆的方程为，则圆的半径为_________．【答案】【解析】【分析】根据圆的一般式方程与标准式方程之间的转化即可求解.【详解】由圆，整理可得：，则圆的半径为.故答案为：14. 已知，，，则在上的投影向量的模为_________．【答案】##【解析】【分析】由投影向量的定义再结合数量积公式即可得解.【详解】因，，，所以，，则在上的投影向量的模为.故答案为：.15. 已知函数且过定点，直线过定点，则_____【答案】5【解析】【分析】由指数函数的性质，直线过定点和两点间距离公式解出即可.【详解】，；由得：，直线恒过定点；.故答案为：.16. 记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则_________．【答案】1296【解析】【分析】首先由递推关系算出，求出，再由等比中项得到，解出，最后由基本量法求出，求出最后结果即可.【详解】依题意，，故当时，，当时，，依题意，两式相减可得，，则，因为当时，也满足，所以，，故；因为，，是等比数列的前三项，所以，则，化简得，，解得或（舍去）所以，，所以等比数列的公比，通项公式，故.故答案为：1296四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长.【答案】方程为，离心率，实轴长【解析】【分析】根据等轴双曲线的性质利用待定系数法求解方程，即可由性质求解.【详解】由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为因为点在双曲线上，代入方程得：. 解得.所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为，并且，， 则， 离心率，实轴长．18. 已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；（2）利用分组求和法求出答案即可.小问1详解】∵，∴，，解得，∴；【小问2详解】由题可知，∴，∴，19. 已知圆．（1）已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；（2）若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．【答案】（1） （2）面积最大值为8，直线方程为或【解析】【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长；法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案；法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案；（2）设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程.【小问1详解】法1：圆C的圆心坐标为，半径，圆心C到直线的距离. 则截得的弦长；法2：设，联立方程组得，消得，；法3：设，联立方程组得，消得，解得，则，.【小问2详解】圆C的圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去，设直线的方程为，即，则圆心C到直线的距离为，又的面积，所以当时取最大值8，由，得，解得，，所以直线的方程为或.20. 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析； （2）存在，.【解析】【分析】（1）借助旋转的意义，结合平行四边形证得，再利用线面平行的判定推理即得.（2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用空间向量求出线面的正弦，列出方程求解即得.【小问1详解】将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，则，且，因此四边形平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由，，，得两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，令，有，则，假定在线段上存在点满足条件，设，则，，当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去；当时，设平面的法向量为，，则，令，得，而，设直线和平面所成的角为，则，而，解得，即点为线段的中点，所以在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时.21. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1） （2）证明见解析，【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；（2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.【小问1详解】法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,则有 所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为.【小问2详解】法一设方程为，因为，所以，即.所以，即；由得，所以.所以，即，所以；所以方程为，故恒过定点.法二设，因为，所以；所以，所以.所以的方程为，整理得，所以，即， 所以直线恒过定点.22. 如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且. （1）求动点Q的轨迹方程；（2）直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围；【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用代入法求动点的轨迹方程；（2）根据直线与的轨迹交于两个不同的点列方程得到，将圆上存在两点、，满足，转化为的垂直平分线与圆有两个交点，然后列不等式求解即可.【小问1详解】设动点，点，由点在圆上，则，由，则，，把，代入，得动点的轨迹方程为【小问2详解】 联立直线与（1）中的轨迹方程得，，由于有两个交点、，故，解得，设，，的中点，由根与系数的关系得，则，故AB的垂直平分线方程为，即 由圆上存在两点、，满足，，可知的垂直平分线与圆交于、两点，由直线与圆的位置关系可得，解得：，由、解得，的取值范围是.