2024普通高中G6教考联盟高一上学期1月期末考试数学含答案

这是一份2024普通高中G6教考联盟高一上学期1月期末考试数学含答案，共5页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔， 解等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 集合A​=​​x​∈N∗​​x2​−​3x​−​4​⩽0​​,B​=​​0,2,4,6​,则A​∩B中元素的个数为
A. 2B. 3C. 4 D. 5
2. 设实数a,b满足1b​>1a​>1,则下列不等式一定成立的是
A. a​3. sin109​5∘cs4​5∘+​sin10​5∘sin13​5∘=​
A. 12B. 2​2C. 3​2D. 1
4. 幂函数f​x​​=​​(n−1)x1(n+1)​n​+​2​(n​∈​N∗)的大致图象是
A. B.
C. D.
5. 在百端待举、日理万机中,毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底,毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时,送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本,并在扉页上题词:好好学习,天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来,影响并指导着一代代青少年青春向上,不负韶华.他告诉我们:每天进步一点点,持之以恒,收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1 ,每天的“进步率”为3%,那么经过一个学期(看作120天)后的学习情况为​​1​+​3%​120​≈34.711,如果每天的“迟步率”为3%,同样经过一个学期后的学习情况为​​1​−​3%​120​≈0.026,经过一个学期,进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多,按上述情况,若“进步"的值是“迟步”的值的10倍,要经过的天数大约为 天.(保留整数)
(参考数据:lg103​≈2.013,lg97​≈1.987)
A. 28B. 38C. 60D. 100
6. 设a=1ⅇ108, b=tan1080, c=lgπ108 ,则a,b,c的大小顺序为
A. B. C. ​ D. ​
7. 若θ为第四象限角,且sin(θ+​π)​=​​55,则1​+​csθ1​+​sin(3π2​−​θ)​−​1​−​csθ1​−​sin(θ−​π2)​的值是
A. 4B. ​−​4C. 14D. ​−​14
8. 已知函数f​x​​=​x​+​1x​+​a, g​x​​=​​x2​−​6x​+​4, 当a​>265时,方程f​g​x​​​=​0根的个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多选题（本题共 4 小题，全部选对得 5 分，选不全得 2 分，多选或选错一个得 0 分，共 20 分。）
9. 下列结论正确的是
A. ​−​2π3是第三象限角
B. 若圆心角为π6的扇形的弧长为π2,则该扇形的面积为3π2
C. 若角α的终边上有一点P(​−​3,4) ,则csα=​−​35
D. 若角α为锐角,则角2α为钝角
10. 下列说法正确的是
A. 命题“∃x​⩽0,使得​ex​⩽x​+​1”的否定是“∀x​>0,都有”
B. “1a​<1”是“a​>1”的必要不充分条件
C. 若不等式a​x2​+​2x​+​c​>0的解集为{​x|​−​1​D. 当x​>1时,2x​+​1x​−​1的最小值为22​+​2
11. 函数f​x​​=​Asin(ωx​+​φ)(A​>0,ω>0,​φ​<π2)的部分图像如图所示,下列结论中正确的是
A. 直线x​=​​13π12是函数f​x​图像的一条对称轴
B. 函数f​x​的图像关于点(​−​5π6​+​kπ2,0),k​∈Z对称
C. 函数f​x​的单调递增区间为[​−​5π12​+​kπ,π12​+​kπ],k​∈Z
D. 将函数f​x​的图像向右平移π6个单位,再将横坐标伸长为原来的2倍得到
函数y​=​sinx​的图象
12. 如图所示，边长为1的正方形ABCD中，O为AD的中点，点P沿着的方向运动，设∠AOP为x，射线OP扫过的阴影部分的面积为f​x​，则下列说法中正确的是
A. f​π4​=12
B. f​x​在π2,π​上为增函数
C. fx图象的对称轴是x=π2
D. fx+fπ−x=1
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 不等式2x​+​1x​+​2​⩽1的解集为​__________
14. 若sinα+​csαsinα−​csα​=​3, tan​α+​β​​=​2, 则tan​2α+​β​​=​__________
15. 已知函数f(x)​=2​cs2ωx​−2(ω>0)在区间[0,π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围
是​__________
16. 在数学中连乘符号是“”,这个符号就是连续求积的意思,把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来,例如.函数,定义使为整数的数叫做企盼数,则在区间​10,2024​内,这样的企盼数共有__________个.
四、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题10分，第18～22题12分）
17. （10分）
求值（1） cs25π6​+​sin⁡(−13π3)​+​tan(​−​25π4) ；
（2）​3​lg94​+​​​lg5​2​+​lg2​×lg5​+​lg2+​0.0001​− ​14​
18. （12分）
已知函数f(x)​=lg531+x−lg531−x
（1）求定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若f1+m+f2m+1<0,求m取值范围.
19. （12分）
已知函数fx=19x−23k13x−1+k,x​∈[−1,0]
（1）k=−1时,求f(x)的值域；
（2）若f(x)的最小值为4,求k的值.
20. （12分）
设函数f(x)​=​csx​∙sinx+π3​+​3​​sin2x​−​33​4
（1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（2）试讨论函数ℎ​x​​=​f​x​​−​3​m在​0,π2​上零点的个数.
21. （12分）
在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价 y（元）与时间 x（天）的关系在段可近似地用函数y=Asinωx+φ+20, (A>0,ω>0,0<φ<π)的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是12,20、44,12．
（1）请你帮老张确定A,ω,φ的值，写出段的
函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，
并指 出此时x的取值范围；
（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，
那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
22. （12分）
已知函数f​x​​=​​lg3​​cx​+​1​​+​kx(k​∈R)是偶函数,且当k=0时,函数y​=​f​x​的图像与函数ℎx=bx−1−1+lg310(b>0且b≠1)的图像都恒过同一个定点.
（1）求k和c的值；
（2）设函数g​x​​=​​lg3​3a​∙​3x​−​4a​​a​∈R​,若方程f​x​​=​g​x​​+​k有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.
吉林省普通高中G6教考联盟2023-2024学年上学期期末考试
高一数学答案
一、选择题
二、填空题
13.−2,1 14. −43 15. 2,3 16. 7
17. 解：（1）原式​=​cs4π+​π6​+​sin−4π−​π3​+​tan​−​6π−​π4​
=​csπ6​−​sinπ3​−​tanπ4​=​3​2​−​32​−​1​=−​1​. -------5分
（2）原式=​3​lg94​+​​​lg5​2​+​lg2​×lg5​+​lg2+​0.1​−​1​
​=​​3​lg​32​22​+​​​lg5​2​+​lg2​×lg5​+​lg2+10
​=​​3​lg32​+​​​lg5​2​+​lg2​×lg5​+​lg2+10
​=​2​+​​lg5​+​lg2​lg5​+​lg2+10
​=​2​+​lg5​+​lg2+10
​=​2​+​1​+10=​13. ------10分
18． 解：(1)要使fx有意义,则​​1​+​x​>0​1​−​x​>0​​,∴​−​1​ ∴fx的定义域为​−​1,1; - ------2分
(2)由(1)得，定义域为​−​1,1关于原点对称; -------3分
f​−​x​=​lg531−x​−lg531−x​=​−​fx,
∴fx为奇函数. -------6分
（3）由复合函数单调性知f(x) 在上单调递增 ------8分
又因为为奇函数 ,,
所以
即 ------10分
解得. ------12分
19. 由题意得，fx=13x2−2k13x+k，x∈0,1
令t=13x，t∈1,3，gt=t2−2kt+k,t∈1,3 ------2分
(1)当k=−1时，gt=t2+2t+1，t∈1,3 , gt在1,3上单调递增
故g(​x)min​=​g(1)​=​2, g(​x)max​=​g(3)​=14 ,
gx的值域为2,14 ------5分
(2) gt=t2−2kt+k,t∈1,3对称轴t=k
当k<1时，gt在1,3上单调递增，g(​x)min=​g(1)=1− k=4 解得 k=−3；
------7分
当1≤k≤3时，gt在1,k上单调递减，gt在k,3上单调递增，g(​x)min=​g(k)=k−k2=4无解，舍 ------9分
当k>3时，gt在1,3上单调递减，g(​x)min=​g(3)=9− 5k=4 解得 k=1 舍去
------11分
综上所述，k=−3. ------12分
20．解： (1)fx​=​csx​∙sinx​+​π3​+​3​​sin2x​−​33​4
=​csx​12sinx​+3​2csx​+​3​1​−​​cs2x​−​33​4​ ------1分
=​12sinxcsx​−​3​2​cs2x​+​3​4​=​14sin2x​−​3​4cs2x ------2分
=​12sin(2x​−​π3), ------3分
∴f(x)的最小正周期是T​=​2π2​=​π, ------4分
由​−​π2​+​2kπ⩽2x​−​π3​⩽π2​+​2kπ,k​∈Z,解得​−​π12​+​kπ⩽x​⩽5π12​+​kπ,k​∈Z,所以函数的单调递增区间为[​−​π12​+​kπ,5π12​+​kπ],k​∈Z. ------5分
(3)函数ℎ​x​​=​f​x​​−​3​m在​0,π2​上零点的个数,即方程12sin​2x​−​π3​​=3​m在​0,π2​上的解的个数.
∵ x∈0,π2 ∴ 2x​−​π3 ​∈​−​π3,2π3​, ∴12sin(2x​−​π3)​∈(​​-​ 34,12​],
当m​⩽−14 或 m>36时，无解. ------7分
当​−14​​当​​14 综上可得, 当m​⩽−14 或 m>36,没有零点;
当​−14​​21.解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，
，， ------3分
由可得， ------6分
，． ------7分
由题意得DEF的解析式为：=8csπ24x−176π，x∈44,68 ------9分
(3)由8csπ24x−176π+20=24，得，
故买入天后股价至少是买入价的两倍． ------12分
22.解：(1)因为函数ℎ​x​​=​​bx​−​1​−​1​+​​lg310(且)的图像恒过定点​1,​lg310​,
当时,函数f​x​图像与ℎ​x​图像过同一定点​1,​lg310​,所以​lg310​=​​lg3​c​+​1​​⇒c​=​9,
------2分
又函数f​x​为偶函数,所以,即​lg3​​9​−​x​+​1​​−​kx​=​​lg3​​9x​+​1​​+​kx,
即​lg3​9x​+​1​9​−​x​+​1​+​2kx​=​0​⇒​lg3​9x​+​2kx​=​0,所以,对x​∈R恒成立,
所以1​+​k​=​0​⇒k​=​−​1,故c​=​9,k​=​−​1. ----4分
(2)由题意方程f​x​​=​g​x​​+​k有且只有一个实数解等价于:
即方程​lg3​​9x​+​1​​−​x​=​​lg3​3a​∙​3x​−​4a​​−​1有且只有一个实数解,
化简得:​3a​−​3​​​​3x​2​−​4a​∙​3x​−​3​=​0有唯一的实数解,
令​3x​=​t​>0,则问题转化为方程:​3a​−​3​​t2​−​4at​−​3​=​0只有一个正实数解, ------5分
则:①当3a​−​3​=​0​⇒a​=​1时,方程化为​−​4t​−​3​=​0​⇒t​=​−​34不合题意, ------6分
②当3a​−​3​≠0​⇒a​≠1时,​3a​−​3​​t2​−​4at​−​3​=​0为一元二次方程,
(i)若两正根相等则:Δ=​​​​−​4a​2​−​4​3a​−​3​​​−​3​​=​0,解得:a​=​34或a​=​−​3,
当a​=​34时,解得:,不满足题意,
当a​=​−​3时,解得:,满足题意, ------9分
(ii)若方程有一正根一负根时,由韦达定理有两根之积小于0:
即​−​33a​−​3​<0​⇔−​1a​−​1​<0​⇒a​>1满足题意, ------11分
综上所述,实数的取值范围是:​​−​3​​∪​1,​+​∞​. ------12分

1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
C
B
B
D
A
C
9
10
11
12
AC
BCD
ACD
BD