2022-2023学年陕西省西安市曲江二中九年级(上)期末数学试卷(含解析)
展开1.−2023的倒数是( )
A. 2023B. −12023C. −2023D. 12023
2.据交通运输部报道,截至2020年底,全国共有城市新能源公交车46.61万辆,位居全球第一,将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n,则n等于( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a3B. (a2)3=a5C. (2a)3=6a3D. a12÷a3=a4
4.如图,AB//CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为( )
A. 85°
B. 75°
C. 65°
D. 30°
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.下列命题中,是真命题的有( )
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④
7.如图,CD是⊙O的直径,AB是弦,CD⊥AB于E,DE=2,AB=8,则AC的长为( )
A. 8
B. 10
C. 4 5
D. 4 3
8.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结论:
①ac>0;
②当x>0时,y随x的增大而增大;
③3a+c=0;
④a+b≥am2+bm.
其中正确的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
9.因式分解2x2−4x+2= .
10.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,则这个多边形的边数为 .
11.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,称为海伦−秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记p=a+b+c2,那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).如果在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积为______.
12.已知点A(a,y1),B(a+1,y2)在反比例函数y=m2+1x(m是常数)的图象上,且y1
三、解答题:本题共13小题,共81分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算: 12+| 3−3|−(13)−1.
15.(本小题5分)
解不等式组x−3(x−2)≥42x−13≤x+12.
16.(本小题5分)
解分式方程:x−3x−2+1=32−x.
17.(本小题5分)
如图,已知△ABC,求作:点P,使PC=PB,且点P到直线AC和AB的距离相等.
18.(本小题5分)
如图,在四边形ABCD中,AB//DC,点E是CD的中点,AE=BE.求证:∠D=∠C.
19.(本小题5分)
一个车间加工轴杆和轴承,每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个,1根轴杆与2个轴承为一套,该车间共有90人,应该怎样调配人力,才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套?
20.(本小题5分)
某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型,泡沫型三种型号(分别用A,B,C依次表示这三种型号).小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液,上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是______;
(2)请你用列表法或画树状图法,求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.
21.(本小题6分)
某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时,想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度,他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°,然后沿DF方向前行40m到达点E处,在E处测得塔顶M的仰角为60°.请根据他们的测量数据求此塔MF的高.(结果精确到0.1m,参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45)
22.(本小题7分)
“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件.某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况,在本校学生中随机抽取部分学生作调查,把收集的数据分为以下4类情形:
A.仅学生自己参与;
B.家长和学生一起参与;
C.仅家长自己参与;
D.家长和学生都未参与.
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,共调查了______名学生;
(2)补全条形统计图,并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数;
(3)根据抽样调查结果,估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.
23.(本小题7分)
李师傅将容量为60升的货车油箱加满后,从工厂出发运送一批物资到某地.行驶过程中,货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计).当油箱中剩余油量为10升时,货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为0.1升/千米,请根据图象解答下列问题:
(1)直接写出工厂离目的地的路程;
(2)求s关于t的函数表达式;
(3)当货车显示加油提醒后,问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油?
24.(本小题8分)
如图⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°,延长BC于D,连接AD,使得AD//OC,AB交OC于E.
(1)求证:AD与⊙O相切;
(2)若AE= 5,CE=1.求⊙O的半径和AB的长度.
25.(本小题8分)
如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为线段BC上的一动点(不与B、C重合),PM//y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求点P的坐标.
26.(本小题10分)
教材再现:如图1,四边形ABCD为正方形,E为AB边上一点,将△ADE绕D点逆时针旋转90°至△DCG,画出旋转后的三角形.
问题探究:如图2,正方形ABCD中,AB=4,E、F分别在AB和BC边上,∠EDF=45°,△DEF的面积是否存在最小值,若存在,请求出它的最小值;若不存在,请说明理由.
综合应用:如图3,某小区内有一块三角形区域ABC,其中∠C=90°,AC=BC=12米,在AB边的中点D处修建一个公共厕所,在AC和CB边上分别确定点E、F,修两条笔直小路DE和DF(小路的宽度忽略不计),且∠EDF=45°,将四边形DECF区域规划成儿童活动专区,其余区域为普通活动区域.根据需求,要使四边形DECF的面积最大,是否存在这样的E、F点,若存在求出最大面积;不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了倒数,倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.熟练掌握倒数定义是解题的关键.根据倒数定义解答即可.
【解答】
解:−2023的倒数是−12023.
2.【答案】B
【解析】解:因为46.61万=466100=4.661×105,
所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n,则n等于5.
故选:B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数.
此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.【答案】A
【解析】解:A.a⋅a2=a3,故本选项符合题意;
B.(a2)3=a6,故本选项不合题意;
C.(2a)3=8a3,故本选项不合题意;
D.a12÷a3=a9,故本选项不合题意;
故选:A.
分别根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方运算法则逐一判断即可.
本题考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方运算,掌握幂的运算法则是解答本题的关键.
4.【答案】B
【解析】解:∵AB//CD,
∴∠C=∠ABC=30°,
又∵CD=CE,
∴∠D=∠CED,
∵∠C+∠D+∠CED=180°,即30°+2∠D=180°,
∴∠D=75°.
故选:B.
先由AB//CD,得∠C=∠ABC=30°,CD=CE,得∠D=∠CED,再根据三角形内角和定理得,∠C+∠D+∠CED=180°,即30°+2∠D=180°,从而求出∠D.
此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理,解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C,再由CD=CE得出∠D=∠CED,由三角形内角和定理求出∠D.
5.【答案】A
【解析】解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°,
∵E是AB的中点,AB=4,
∴CE=BE=12AB=12×4=2,
∴△BCE为等边三角形,
∵CD⊥AB,
∴DE=BD=12BE=12×2=1,
故选:A.
利用三角形的内角和定理可得∠B=60°,由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE=BE=2,利用等边三角形的性质可得结果.
本题主要考查了直角三角形的性质,熟练掌握定理是解答此题的关键.
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了命题与定理,正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键.
直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案.
【解答】
解:①对角线相等且互相平分的四边形是矩形,故原命题是真命题;
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故原命题假命题;
③四边相等的四边形是菱形,故原命题是假命题;
④四边相等的四边形是菱形,故原命题是真命题.
故选:B.
7.【答案】C
【解析】解:连接OA,设⊙O的半径为R,则OA=R,OE=R−2,
∵CD⊥AB,CD过圆心O,AB=8,
∴AE=BE=4,∠AEC=90°,
由勾股定理得:OA2=OE2+AE2,
即R2=(R−2)2+42,
解得:R=5,
即OA=OC=5,OE=5−2=3,
∴CE=OC+OE=5+3=8,
∴AC= CE2+AE2= 82+42=4 5,
故选:C.
连接OA,设⊙O的半径为R,则OA=R,OE=R−2,根据垂径定理求出AE=BE=4,根据勾股定理求出OA2=OE2+AE2,得出R2=(R−2)2+42,求出R,再求出CE,最后根据勾股定理求出AC即可.
本题考查了垂径定理和勾股定理,能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键.
8.【答案】B
【解析】解:把点A(−1,0),B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c,
可得二次函数的解析式为:y=ax2−2ax−3a,
∵该函数开口方向向下,
∴a<0,
∴b=−2a>0,c=−3a>0,
∴ac<0,3a+c=0,①错误,③正确;
∵对称轴为直线:x=−b2a=1,
∴x<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小;②错误;
∴当x=1时,函数取得最大值,即对于任意的m,有a+b+c≥am2+bm+c,
∴a+b≥am2+bm,故④正确.
综上,正确的个数有2个,
故选:B.
把点A(−1,0),B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c,可得二次函数的解析式为:y=ax2−2ax−3a,由图象可知,函数图象开口向下,所以a<0,可得b和c的符号,及a和c的数量关系;由函数解析式可得函数对称轴为直线:x=−b2a=1,根据函数的增减性和最值,可判断②和④的正确性.
本题考查了二次函数图象与系数的关系:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左侧;当a与b异号时,对称轴在y轴右侧.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).
9.【答案】2(x−1)2
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式,解本题的关键是提取公因式2.
先提取2,然后用完全平方公式分解即可.
【解答】
解:2x2−4x+2=2(x2−2x+1)=2(x−1)2,
故答案为:2(x−1)2.
10.【答案】八
【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理,根据题意列出方程是解题的关键.
根据多边形的内角和定理,多边形的内角和等于(n−2)⋅180°,外角和等于360°,然后列方程求解即可.
【解答】
解:设多边形的边数是n,根据题意得,
(n−2)⋅180°=3×360°,
解得n=8,
所以这个多边形为八边形.
故答案为八.
11.【答案】6 6
【解析】解:∵a=5,b=6,c=7,
∴p=a+b+c2=9,
则S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 9×4×3×2=6 6.
故答案为:6 6.
根据a,b,c的值,求出p的值,代入公式计算即可求出S.
此题考查了二次根式的应用,以及数学常识,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12.【答案】−1【解析】解:∵k=m2+1>0,
∴反比例函数y=m2+1x(m是常数)的图象在一、三象限,在每个象限,y随x的增大而减小,
①当A(a,y1),B(a+1,y2)在同一象限,
∵y1
此不等式无解;
②当点A(a,y1)、B(a+1,y2)在不同象限,
∵y1
解得:−1故答案为−1根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论,①当点A(a,y1),B(a+1,y2)在同一象限时,②当点A(a,y1),B(a+1,y2)在不同象限时.
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,分类讨论是解题的关键.
13.【答案】 5−1
【解析】解:如图,取AD的中点T,连接BT,GT.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=2,∠DAE=∠ABF=90°,
在△DAE和△ABF中,
DA=AB∠DAE=∠ABFAE=BF,
∴△DAE≌△ABF(SAS),
∴∠ADE=∠BAF,
∵∠BAF+∠DAF=90°,
∴∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,
∵DT=AT,
∴GT=12AD=1,
∵BT= AT2+AB2= 12+22= 5,
∴BG≥BT−GT,
∴BG≥ 5−1,
∴BG的最小值为 5−1.
故答案为: 5−1.
如图,取AD的中点T,连接BT,GT.首先利用全等三角形的性质证明∠AGD=90°,求出GT=1,BT= 5,根据BG≥BT−GT,可得结论.
本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,求出GT,BT是解题的关键.
14.【答案】解:原式=2 3+3− 3−3
= 3.
【解析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案.
此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质,正确化简各数是解题关键.
15.【答案】解:x−3(x−2)≥4①2x−13≤x+12②,
解不等式①得:x≤1,
解不等式②得:x≤5,
∴不等式组解集为x≤1.
【解析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.
16.【答案】解:x−3x−2+1=32−x,
x−3+x−2=−3,
解得:x=1,
检验:当x=1时,x−2≠0,
∴x=1是原方程的根.
【解析】按照解分式方程的步骤,进行计算即可解答.
本题考查了解分式方程,一定要注意解分式方程必须要检验.
17.【答案】解:如图,点P为所作.
【解析】作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线,它们的交点即为P点.
本题考查了作图−复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质.
18.【答案】证明:∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,
∵AB//DC,
∴∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA,
∴∠DEA=∠CEB,
∵点E是CD的中点,
∴DE=CE,
在△ADE和△BCE中,
DE=CE ∠DEA=∠CEB AE=BE ,
∴△ADE≌△BCE(SAS),
∴∠D=∠C.
【解析】由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA=∠CEB,由SAS证明△ADE≌△BCE,即可得出结论.
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质;熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
19.【答案】解:设x个人加工轴杆,(90−x)个人加工轴承,才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套,
根据题意得:2×12x=16(90−x),
去括号得:24x=1440−16x,
移项合并得:40x=1440,
解得:x=36.
则调配36个人加工轴杆,54个人加工轴承,才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套.
【解析】本题考查了一元一次方程的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键.设x个人加工轴杆,(90−x)个人加工轴承,才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套,根据1根轴杆与2个轴承为一套列出方程,求出方程的解即可得到结果
20.【答案】解:(1)13;
(2)列表如下:
由表可知,共有9种等可能结果,其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果,
∴小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为39=13.
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可;
(2)列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可.
本题主要考查用列表法或画树状图法求概率,掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题关键.
解:(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是13.
故答案为:13;
(2)见答案.
21.【答案】解:由题意:AB=40,CF=1.5,∠MAC=30°,∠MBC=60°,
∵∠MAC=30°,∠MBC=60°,
∴∠AMB=30°
∴∠AMB=∠MAB
∴AB=MB=40,
在Rt△BCM中,
∵∠MCB=90°,∠MBC=60°,
∴∠BMC=30°.
∴BC=12BM=20(米),
∴MC= MB2−BC2=20 3(米),
∴MC≈34.64(米),
∴MF=CF+CM=36.14≈36.1(米).
【解析】首先证明AB=BM=40,在Rt△BCM中,利用勾股定理求出CM即可解决问题;
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,本题的突破点是证明AB=BM=40,属于中考常考题型.
22.【答案】(1)400;
(2)B类别人数为400−(80+60+20)=240(人),
补全条形图如下:
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×60400=54°;
(3)估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数2000×20400=100(人),
答:估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为100人.
【解析】解:(1)本次调查的总人数为80÷20%=400人,
故答案为:400;
(2)见答案;
(3)见答案.
(1)根据A类别人数及其所占百分比可得总人数;
(2)总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图,再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得;
(3)用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得.
本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识,解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息.
23.【答案】解:(1)由图象,得t=0时,s=880,
∴工厂离目的地的路程为880千米,
答:工厂离目的地的路程为880千米;
(2)设s=kt+b(k≠0),
将(0,880)和(4,560)代入s=kt+b得,
880=b560=4k+b,
解得:k=−80b=880,
∴s关于t的函数表达式:s=−80t+880(0≤t≤11),
答:s关于t的函数表达式:s=−80t+880(0≤t≤11);
(3)当油箱中剩余油量为10升时,
s=880−(60−10)÷0.1=380(千米),
∴380=−80t+880,
解得:t=254(小时),
当油箱中剩余油量为0升时,
s=880−60÷0.1=280(千米),
∴280=−80t+880,解得:t=152(小时),
∵k=−80<0,
∴s随t的增大而减小,
∴t的取值范围是254
(2)用待定系数法求出函数解析式即可;
(3)当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时,求出t的取值即可.
本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.
24.【答案】(1)证明:如图,连接OA,
∵∠AOC=2∠ABC=90°,OC//AD,
∴OA⊥AD,
∵OA是⊙O的半径,
∴AD是⊙O的切线;
(2)设半径为r,则OE=r−1,在Rt△AOE中,由勾股定理得,
OE2+OA2=AE2,
即(r−1)2+r2=( 5)2,
解得r=2或r=−1(舍去),
(2)如图,延长CO交⊙O于F,由相交弦定理得,
AE⋅EB=EC⋅EF,
即 5⋅EB=(2−1)×(2+1),
∴EB=3 55,
∴AB=AE+BE=8 55.
【解析】(1)根据圆周角定理以及平行线的性质可得OA⊥AD,再根据切线的判定方法进行判断即可;
(2)根据勾股定理列方程求解即可求出半径,
本题考查切线的判定,圆周角定理,掌握切线的判定方法以及圆周角定理、相交弦定理是正确解答的前提.
25.【答案】解:∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,
∴a−b+3=09a+3b+3=0,
解得a=−1b=2,
∴抛物线的解析式y=−x2+2x+3;
(2)令x=0,则y=3,
∴C(0,3),
设点M的坐标为(a,−a2+2a+3),
则有OC=3,OB=3,ON=a,MN=−a2+2a+3,BN=3−a,
根据题意,S△BCM=S梯形OCMN+S△MNB−S△COB
=12(OC+MN)⋅ON+12MN⋅NB−12OC⋅OB
=12[3+(−a2+2a+3)]a+12(−a2+2a+3)(3−a)−12×3×3
=−32a2+92a
=−32(a−32)2+278,
∵−32<0,
∴当a=32时,S△BCM有最大值,
此时,ON=a=32,BN=3−a=32,
∵OC=OB=3,∠COB=90°,
∴∠PBN=45°.
∴PN=BN=ON=32,
∴点P的坐标为(32,32).
【解析】(1)根据待定系数法即可求解;
(2)设点M的坐标为(a,−a2+2a+3),则可表示出NM与BN,根据题意,S△BCM=S梯形OCMN+S△MNB−S△COB列式求解得S△BCM=−32(a−32)2+278,则当a=32时,S△BCM有最大值,则可求解.
此题是二次函数综合应用题,主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识.
26.【答案】解:(1)如图1,△DCG就是旋转后的三角形;
(2)如图,将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCG,
∵∠DCG=∠A=90°,∠DCF=90°,
∴G、C、F三点共线,
由旋转可知,∠ADE=∠CDG,DE=DG,
∴∠EDG=90°,
∴∠GDC=∠FDE=45°,DE=DE,
∴△DEF≌△DGF(SAS),
∴EF=GF,△DEF的面积=△DFG的面积,
∴EF=FC+CG=AE+FC,
∵△DEF的面积=△DFG的面积=S△ADE+S△DCF=12EF×CD=2EF,
∴△DEF面积=2EF.
∵EF=AE+CF,AE+BE=AB=4,BF+CF=BC=4,
∴EF+BE+BF=AB+BC=8,
∴BE+BF=8−EF,
∴2BE⋅BF+BE2+BF2=(8−EF)2=64+EF2−16EF,且BE2+FB2=EF2,
∴BE⋅BF=32−8EF,
∵(BE−BF)2≥0,
∴BE2+BF2≥2BE⋅BF,
∴EF2≥64−16EF
∴(EF+8)2≥128,
∴EF≥8 2−8,或EF≤−8 2−8(舍去),
∴EF的最小值为8 2−8,
∴△DEF面积的最小值为16 2−16;
(3)存在,理由如下:过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N,则四边形DMCN是正方形,
求四边形DECF的面积最大,即求△DME和△DFN的和最小;
∵AC=BC=12,点D为AB的中点,
∴DM=6.
由(2)中结论可知,△DEF的面积=△DFG的面积,△DEF面积=2EF.
∵EF=ME+CF,ME+NE=MN=6,NF+CF=NC=6,
∴EF+NE+NF=MN+NC=12,
∴NE+NF=12−EF,
∴2NE⋅NF+NE2+NF2=(12−EF)2=144+EF2−24EF,
∵NE2+FN2=EF2,
∴NE⋅NF=72−12EF,
∵(NE−NF)2≥0,
∴NE2+NF2≥2NE⋅NF,
∴EF2≥144−24EF
∴(EF+12)2≥288,
∴EF≥12 2−12,或EF≤−12 2−12(舍去),
∴EF的最小值为12 2−12,
∴△DEF面积的最小值为24 2−24.
∴四边形DECF的最大值为:36−(24 2−24)=(60−24 2)(m2).
【解析】(1)根据旋转画出图形即可;
(2)根据旋转的性质得到∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,AE=CM,得到DE=DM,∠EDM=90°,根据全等三角形的性质得到EF=MF,求得EF=CF+AE;得到△DEF面积=2EF.根据完全平方公式得到BE2+BF2≥2BE⋅BF,求得EF2≥64−16EF得到EF的最小值为8 2−8,求得△DEF面积的最小值为16 2−16,于是得到结论;
(3)先构造出直角三角形,由于四边形DECF面积=S正方形DMCN−S△MDE−S△NDF,于是得到当S△MDE+S△NDF的和最小时,四边形DECF的面积有最大值,再利用勾股定理(2)中方法求解得出结论.
本题属于几何综合题中类比探究,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定定理和性质定理以及对称的性质,解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角,证明三角形全等,作出辅助线也是解决本题的关键.A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
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