广西壮族自治区柳州市柳南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广西壮族自治区柳州市柳南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列各数中属于负数的是（ ）
A．B．0C．1D．2
2．如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
3．杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，打造了首个“数实融合”的点火仪式．其中数据105800000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．中国航天事业起始于1956年，中国于1970年4月24日发射第一颗人造地球卫星，是继苏联、美国、法国、日本之后世界上第5个能独立发射人造卫星的国家.设计航天标识通常会融入数学元素.下列航天标识中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
7．如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（ ）
A．1cmB．2 cmC．3cmD．4cm
9．用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每两次必有1次正面向上B．可能有5次正面向上
C．必有5次正面向上D．不可能有10次正面向上
10．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（ ）
A．B．
C．D．
11．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A．B．C．D．
12．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
二、填空题
13．计算： ．
14．反比例函数的图像过点，则的值为 ．
15．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为 ．
16．某班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如下表所示，则这40名同学投掷实心球的成绩的众数是 ．
17．如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则 ．

18．如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于、，点A关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 ．
三、解答题
19．解方程：．
20．如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线．
21．同学们都知道“石头、剪刀、布”的猜拳游戏吧！游戏规定：两人同时出手．“石头胜剪刀”，“剪刀胜布”，“布胜石头”；若手势相同，则不分胜负．小明和小丽正在做这种游戏．
(1)小明随机出手一次，出“石头”的概率为______；
(2)两人都随机出手一次，求小明获胜的概率．
22．某商场在世博会上购置，两种玩具，其中玩具的单价比玩具的单价贵25元，且购置2个玩具与1个玩具共花费200元．
(1)求，玩具的单价；
(2)若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？
23．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
(1)求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．
(2)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
24．学校要举办运动会，九（1）班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切．小聪用，，表示三角形纸片的三个顶点（如图1）．请你按要求完成：
(1)尺规作图：在图1中找出圆心点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)若纸片三边长分别是：，，，与边，，分别相切于点，，（如图2），求小聪截得的圆形道具的面积．
25．【综合与实践】
在实验课上，小明做了一个试验．如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
图1
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象（如图2）．
(1)求出关于的函数表达式；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①请在图2中作出关于的函数图象，并直接写出关于的函数表达式；
②当时，观察的函数图象，并结合解析式，请写出函数的一个性质；
(3)若在容器中加入水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．
26．【探究与证明】
【问题背景】从小学到中学，一副小小的三角板几乎是每个人上学必备的最简单、实用的学习及探究数学问题的工具．在一次数学兴趣小组活动中，老师组织同学们用三角板工具开展数学探究活动．
【操作思考】彬彬和明明同学将两块一大一小的三角板按照如图1所示方式摆放，其中，，．他们尝试着将三角板绕点按顺时针方向旋转，发现在三角板旋转过程中，顶点到边的距离是不断变化的，他们经过反复操作、分析、推理和运算，提出了以下的数学问题.请你来解答这些问题．
(1)两块三角板按照图1所示的方式摆放时．求点到直线的距离；
(2)当的顶点落在边上时（如图2），延长交于点．求点到直线的距离；
(3)若点，，在同一条直线上，求点到直线的距离．
成绩（分）
6
7
8
9
10
人数
下
正一
正正一
正正正
正
托盘与点的距离
30
25
20
15
10
容器与水的总质量
10
12
15
20
30
加入的水的质量
5
7
10
15
25
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了负数的定义，根据负数小于0即可得到答案，熟练掌握负数的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
属于负数的是，
故选：A．
2．B
【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
3．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：105800000用科学记数法表示为．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查中心对称图形，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，据此即可求解．
【详解】选项A，C，D中图形不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合，
选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合，
故选：B．
5．C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．
【详解】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．A
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，
平移后的抛物线的解析式为：．
故选：A．
8．A
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC=60°，而AB=BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是4cm，
∴AB＝BC＝AC＝1cm．
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．
9．B
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，
那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，解题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
10．C
【分析】分别用代数式表示两个图中阴影部分的面积即可．
【详解】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
右图，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为，
由两个图形中阴影部分的面积相等可得，，
故选：．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
11．C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
12．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，利用以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：的两根与，即时所用的时间，
∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故A错误；
，
∴对称轴直线为：，最大值为20，故D错误；
∴时，，此时小球继续下降，故B错误；
∵当时，即，解得，，
∴，
∴小球从飞出到落地要用，故C正确．
故选：C．
13．
【分析】本题考查去括号，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据去括号的方法进行解题即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14．2
【分析】将此点坐标代入函数解析式（k≠0）即可求得k的值．
【详解】解：根据题意，将（2，1）代入（k≠0），得：k=2×1=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的系数，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．
15．
【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．代入数值计算即可作答．
【详解】圆锥的侧面积为：．
故答案为：
16．9
【分析】本题考查了众数，掌握众数的计算方法是解题的关键．
根据众数的定义进行计算即可．
【详解】解：这40名同学投掷实心球的成绩为9分的人数最多，则众数是9，
故选：B．
17．50
【分析】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）．
过点A作于F，先根据旋转的性质得，由三角形的外角定理得，进而可求出，然后根据等腰三角形的性质得，据此可求出旋转角的度数．
【详解】解：过点A作于F，
根据旋转的性质得：旋转角为，
，
，
，
，
，
，
．
．

故答案为：50．
18．
【分析】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
依据题意，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解．
【详解】解：对于，
令，则，
令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为，
抛物线的对称轴为直线，则点，
作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，
理由：∵点H、D关于y轴对称，则，
则为最小，
则最小，
设直线解析式为，
将代入，得，
解得，，
，
时，
点E的坐标为．
故答案为：．
19．，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：，
，
或，
，．
20．见解析
【分析】连接OC，如图，由于OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到直线AB是⊙O的切线．
【详解】证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形，
又OC是底边AB上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
【点睛】考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直．
21．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出树状图得出所有等情况数和小明获胜的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．小明获胜的结果有3种，
所以P（小明获胜）．
【点睛】本题考查了简单随机抽样/列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．(1)A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元
(2)最多可以购置A玩具200个
【分析】本题考查一元一次方程和不等式的实际应用；
（1）设玩具的单价为元，则玩具的单价为元，根据购置2个玩具与1个玩具共花费200元列方程求解即可；
（2）设商场可以购置玩具个，根据购置玩具的总额不高于40000元，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设玩具的单价为元，则玩具的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
可得：，
答：玩具的单价为50元，玩具的单价为75元；
（2）解：设商场可以购置玩具个，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购置玩具200个．
23．(1)
(2)当为时，小花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围；
（2）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解．
解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴花园的面积为：，
∵，，
∴，，
∴，
∴与之间的函数关系式为： ；
（2）∵，，
∴当时，有最大值，最大值为200．
答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是．
24．(1)见解析
(2)小聪截得的圆形道具的面积是
【分析】本题考查三角形内切圆，切线长定理等知识点；
（1）用尺规作和的角平分线，交点即为圆心点；
（2）连接，，，根据切线长定理可得，，，最后根据列方程求解即可．
【详解】（1）如图所示：点即为所求；
（2）连接，，，
在中，，，
，
是直角三角形，
是的内切圆，切点为，，，
，，，
，，
，
四边形为正方形，
设，
，，
，
解得，
，
小聪截得的圆形道具的面积是．
25．(1)关于的函数表达式是
(2)①作出关于的函数图象见解析；；②当时，随的增大而减小
(3)托盘B与点C的距离的取值范围是
【分析】（1）观察可知，是的反比例函数，设，把代入计算即可；
（2）①描点连线即可画出函数图象，再根据表格规律求解析式即可；
②结合函数图象分析即可；
（3）把代入计算即可．
【详解】（1）观察可知，是的反比例函数，
设，把代入得：，
，
关于的函数表达式是；
（2）①作出关于的函数图象右图：
观察函数图象和题中表格可以发现
，
；
；
②当时，随的增大而减小；
（3），，
，
，

答：托盘与点的距离的取值范围是．
26．(1)点D到的距离是
(2)点D到直线的距离为3
(3)点D到直线的距离为或者
【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质和勾股定理；
（1）根据直角三角形的性质和勾股定理计算的长度即可；
（2）过点作于，由旋转可得，再根据直角三角形的性质和勾股定理计算即可；
（3）准确的画出图形，根据直角三角形的性质和勾股定理，结合三角形面积计算即可．
【详解】（1）由题意得，，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
∴
解得，；
点到的距离是；
（2）当的顶点落在边上时
过点作于，
图2
由旋转得，，
在中，，
；
（3）若点，，在同一条直线上
①当点在上方时，如图3，
图3
过点作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
②如图4，当点在下方时，
图4
过点作于，
，
，
，
即点到直线的距离为或者．