新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究二方法四数形结合法

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4.(1)[2021·新高考Ⅱ卷](多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是( )

A B

C D
(2)[2023·全国甲卷]向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cs〈a－c，b－c〉＝( )
A．－B．－
C．D．
对接训练
7.[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝csωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
8．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
方法四 数形结合法
[例4] (1)解析：设正方体的棱长为2，
如图①所示，连接AC，则MN∥AC，
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝，
故MN⊥OP不成立，故A错误．
如图②所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCMNADT可得SN⊥平面ANTD，而OQ⊂平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN＝N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN⊂平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ＝Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．
如图③，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确．
如图④，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，
则AC∥MN，
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，
PO＝＝＝，QO2故PO，MN不垂直，故D错误．故选BC.
(2)解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.
如图，设＝a，＝b，＝c，
由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，
AB边上的高OD＝，AD＝，
所以CD＝CO＋OD＝＝，
tan∠ACD＝＝，cs∠ACD＝，
cs〈a－c，b－c〉＝cs∠ACB＝cs2∠ACD＝2cs2∠ACD－1＝2×－1＝.
故选：D.
答案：BC
答案：D
对接训练
7．解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝csωx－1＝0，则csωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cst＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cst的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.
答案：[2，3)
8．
解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y－c代入并整理得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|DE|＝·＝·＝＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.
答案：13
方法四
数形结合法
(1)“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．
(2)对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果．