新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究三三分类讨论思想

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(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围．
对接训练
3.设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________．
三 分类讨论思想
[例3] (1)解析：当a＝－1时，f(x)＝ln (1＋x)，f′(x)＝－ln (1＋x)＋·，
所以f′(1)＝－ln2，
又f(1)＝0，所以点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln2，即xln2＋y－ln2＝0.
(2)解析：由题意得f′(x)＝－ln (1＋x)＋·≥0(x＞0)，即≥0(x＞0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)≥0(x＞0)．
设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)，
则g′(x)＝2ax＋1－ln (1＋x)－1＝2ax－ln (1＋x)．
若a≤0，则g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)0，设h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝2a－，h′(0)＝2a－1.
①若0＜a＜，则h′(0)＝2a－1＜0，令h′(x)＝0，得x＝－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当0＜x＜－1时，h′(x)＜0，当x＞－1时，h′(x)＞0，
所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0＜x＜－1时，g′(x)g(0)＝0，满足题意．
综上所述，a的取值范围为.
对接训练
3．解析：因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝＞0，
即＞0(n∈N*)，则有 ①
或 ②
由①得－1＜q＜1且q≠0，由②得q＞1.
故q的取值范围是(－1，0)
答案：(－1，0)
分类讨论的原则
分类讨论的常见类型
(1)不重不漏
(2)标准要统一，层次要分明
(3)能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论
(1)由数学概念而引起的分类讨论
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论
(5)由参数的变化而引起的分类讨论
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略