新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一七解析几何

这是一份新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一七解析几何，共5页。试卷主要包含了直线方程的五种形式，双曲线的标准方程及几何性质，抛物线的标准方程及几何性质，双曲线的方程与渐近线方程的关系等内容，欢迎下载使用。

1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．椭圆的标准方程及几何性质
7.双曲线的标准方程及几何性质
8.抛物线的标准方程及几何性质
9.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为＝0，即y＝±x.
(2)若渐近线的方程为y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为＝λ(λ≠0)．
(3)若所求双曲线与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
10．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
易错剖析
易错点1 遗漏方程表示圆的充要条件
【突破点】 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
易错点2 解决截距问题忽略“0”的情形
【突破点】 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
易错点3 忽视斜率不存在的情况
【突破点】 (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
易错点4 忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
【突破点】 凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．
易错点5 忽视双曲线定义中的条件
【突破点】 双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
易错点6 忽视圆锥曲线定义中的焦点位置
【突破点】 椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，一定要将方程化为曲线的标准形式．
易错快攻
易错快攻一 忽视直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
1[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A．B．
C．－D．－
易错快攻二 遗漏直线的斜率不存在的情况
2[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
七 解析几何
[典例1] 解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C.
答案：C
[典例2] (1)解析：设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)解析：方法一 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根与系数的关系得，所以y1＋y2＝y1y2.
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝＝＝.
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
解析：方法二 由题意得A1(－2，0)，A2(2，0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则＝1，即＝16.
如图，连接MA2，
＝·＝＝＝4 ①.
由＝1，得4x2－y2＝－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得·＝0，
即－·＝0.
＝＝，
由根与系数的关系得＝－ ②.
由①②可得＝.
：y＝(x＋2)＝：y＝(x－2)．
由，解得x＝－1.
所以点P在定直线x＝－1上．
标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
图形
几何性质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与长轴长的比值：e＝＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
标准方程
＝1(a>0，b＞0)
＝1(a>0，b＞0)
图形
几何性质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与实轴长的比值：e＝＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
几何性质
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
焦点
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
离心率
e＝1