新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一三函数导数

这是一份新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一三函数导数，共3页。试卷主要包含了函数的定义域和值域等内容，欢迎下载使用。

1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为[，＋∞)，当a<0时，值域为(－∞，].
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
4．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0，1)点；
y＝lgax(a>0，且a≠1)恒过(1，0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增；
当05．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
6．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
7．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化；
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
易错剖析
易错点1 函数的单调区间理解不准确
【突破点】 对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
易错点2 判断函数的奇偶性时忽略定义域
【突破点】 一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．
易错点3 不清楚导数与极值的关系
【突破点】 (1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．
(2)已知极值点求参数要进行检验．
易错点4 混淆“切点”致误
【突破点】 注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
易错点5 导数与单调性的关系理解不准确
【突破点】 (1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．
(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则容易漏解．
易错快攻
易错快攻一 混淆“切点”致误
1 (1)[2023·全国甲卷]曲线y＝在点(1，)处的切线方程为( )
A．y＝xB．y＝x
C．y＝x＋D．y＝x＋
(2)[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
易错快攻二 混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”
2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
三 函数、导数
[典例1] (1)解析：由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C.
(2)解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即＝.整理，得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
答案：C (2)(－∞，－4)
[典例2] (1)解析：因为f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝2x－2－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x2－2x在(0，＋∞)上恒成立，
而y＝2x2－2x＝2－≥－，当且仅当x＝时，等号成立，
所以a≤－，
所以实数a的取值范围为.
(2)解析：f(x)＝lnx－ax2－2x的定义域为(0，＋∞)，
由题意得f′(x)＝－ax－2<0在(0，＋∞)上有解，
即其中y＝＝－1≥－1，
故a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞)．