新教材2024高考数学二轮专题复习分册一新高考命题四特性精准定位一基础性__遵循考纲难易适中

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重温高考
1.[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
素养清单[数学运算][直观想象]
命题目标偶函数的概念
重温高考
2.[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝( )
A.－1 B．0C． D．1
素养清单[数学运算][逻辑推理]
命题目标充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义
重温高考
3.[2023·新课标Ⅰ卷]设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
素养清单[数学运算][逻辑推理]
命题目标椭圆定义
重温高考
4.[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B．12C．9 D．6
素养清单[逻辑推理]
命题目标双曲线定义
重温高考
5.[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________.
素养清单[逻辑推理]
命题目标事件的相互独立
重温高考
6.[2021·新高考Ⅰ卷](多选)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
素养清单[数学运算][逻辑推理]
命题目标正态分布
重温高考
7.[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
素养清单[数学运算][逻辑推理]
命题目标样本的数字特征
重温高考
8.[2023·新课标Ⅰ卷](多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
素养清单[数学运算][逻辑推理]
命题目标线线角与线面角
重温高考
9.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知正方体ABCDA1B1C1D1，则( )
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
素养清单[直观想象][逻辑推理]
基本技能集合运算的求解能力
重温高考
10.[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M＝( )
A.{－2，－1，0，1}B．{0，1，2}C.{－2}D．2
素养清单[数学运算]
基本技能复数运算的求解能力
重温高考
11.[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝，则z－＝( )
A.－iB．IC.0D．1
素养清单[数学运算]
基本技能平面向量数量积运算的求解能力
重温高考
12.[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A.－6 B．－5C．5 D．6
13．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
素养清单[数学运算]
基本技能平面向量垂直的求解能力
重温高考
14.[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A.λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C.λμ＝1D．λμ＝－1
素养清单[数学运算]
基本技能平面向量的线性运算的求解能力
重温高考
15.[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A.3m－2nB．－2m＋3nC.3m＋2nD．2m＋3n
素养清单[逻辑推理][数学运算]
基本技能三角函数性质的求解能力
重温高考
16.[2022·新高考Ⅰ卷]记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B．C． D．3
素养清单[逻辑推理][数学运算]
基本技能三角恒等变换求值的求解能力
重温高考
17.[2022·新高考Ⅱ卷]若sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2cs (α＋)sinβ，则( )
A.tan (α－β)＝1B．tan (α＋β)＝1C.tan (α－β)＝－1D．tan (α＋β)＝－1
18．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，csαsinβ＝，则cs (2α＋2β)＝( )
A. B．C．－ D．－
素养清单[数学运算]
基本技能排列与组合的求解能力
重温高考
19.[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
素养清单[数学运算]
基本技能二项式展开式通项公式的求解能力
重温高考
20.[2022·新高考Ⅰ卷](1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
素养清单[数学运算]
基本技能等差数列的通项公式及前n项和公式，学生解方程的能力
重温高考
21.[2020·新高考Ⅰ卷]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
素养清单[逻辑推理][数学运算]
基本技能等比数列的通项公式及前n项和公式，学生解方程的能力
重温高考
22.[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A.120B．85C.－85D．－120
素养清单[数学运算]
基本技能简单几何体的表面积与体积的求解能力
重温高考
23.[2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________.
素养清单[数学运算]
基本技能椭圆几何性质(离心率)的求解能力
重温高考
24.[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝( )
A. B．C． D．
素养清单[数学运算]
基本思想平面向量数量积的范围，数形结合思想的应用
重温高考
25.[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A.(－2，6) B．(－6，2)C.(－2，4) D．(－4，6)
素养清单[直观想象][数学运算]
基本思想有关圆的问题的求解，数形结合思想的应用
重温高考
26.[2021·新高考Ⅰ卷](多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
素养清单[直观想象][逻辑推理][数学运算]
基本思想利用导数研究函数的单调性问题，分类讨论思想的应用
重温高考
27.[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋.
素养清单[逻辑推理][数学运算]
基本应用球的表面积在实际中的应用
重温高考
28.[2021·新高考Ⅱ卷]北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－csα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为( )
A.26% B．34%C．42% D．50%
素养清单[逻辑推理][数学运算]
基本应用对数运算在实际中的应用
重温高考
29.[2023·新课标Ⅰ卷](多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2
素养清单[数学运算]
精准定位一 基础性——遵循考纲 难易适中
1．解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
答案：A
2．解析：方法一 设g(x)＝ln，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
方法二 因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln3，f(1)＝(a＋1)ln＝－(a＋1)ln3，所以(a－1)ln3＝－(a＋1)ln3，解得a＝0，故选B.
答案：B
3．解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以＝a1＋(n＋1－1)·－[a1＋(n－1)·]＝，为常数，所以{}为等差数列，即甲⇒乙；若{}为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.
答案：C
4．解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＝2a＝6，所以·2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立)．故选C.
答案：C
5．解析：方法一 由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以A(c，－y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
方法二 由前面方法一得＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
方法三 由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝.
答案：
6．解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，
故选B.
答案：B
7．解析：由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2答案：0.14
8．解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD.
答案：BD
9．解析：如图(1)，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．
如图(2)，连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确，如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．
如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M＝{－2}，故选C.
方法二 由于1N，所以1M排除A，B；由于2N，所以2M排除D.故选C.
答案：C
11．解析：因为z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
答案：A
12．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4)．由题意，得cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.
答案：C
13．解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝.
答案：
14．解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
答案：D
15．解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
16．解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜－k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故选A.
答案：A
17．解析：方法一 设β＝0，则sinα＋csα＝0，即tanα＝－1.取α＝，排除A，B.设α＝0，则sinβ＋csβ＝2sinβ，即tanβ＝1.取β＝，排除D.故选C.
方法二 因为sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝·sin (α＋β＋)＝sin [(α＋)＋β]＝sin (α＋)·csβ＋cs (α＋)sinβ＝2cs (α＋)sinβ，所以sin (α＋)csβ＝cs (α＋)sinβ，所以sin (α＋)csβ－cs (α＋)sinβ＝0，即sin (α＋－β)＝0.所以sin (α－β＋)＝sin (α－β)＋cs (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cs (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
方法三 因为sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2·cs (α＋)sinβ，所以sinαcsβ＋csαsinβ＋csαcsβ－sinαsinβ＝2sinβ(csα－sinα)＝2sinβcsα－2sinαsinβ，所以csαcsβ＋sinαsinβ＝－sinαcsβ＋sinβcsα，所以cs (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
答案：C
18．解析：依题意，得，
所以sinαcsβ＝，所以sin (α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝＝，所以cs (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
答案：B
19．解析：方法一 由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有＝64(种)．
方法二 若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．
答案：64
20．解析：(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为＝－28.
答案：－28
21．解析：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝×n＝3n2－2n.
答案：3n2－2n
22．解析：方法一 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则，化简整理得.所以S8＝＝×(1－44)＝－85.故选C.
方法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C.
答案：C
23．解析：
方法一 如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCDA1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCDA1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝.
方法二 如图，将正四棱台ABCDA1B1C1D1补形成正四棱锥PABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCDA1B1C1D1的高为，所以＝×(22＋12＋)×＝.
答案：
24．解析：方法一 由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，得a＝.故选A.
方法二 若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意．故选A.
答案：A
25．解析：·＝||·||·cs∠PAB＝2||cs∠PAB，又||cs∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cs30°＝6，·＝2×2×cs120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.
答案：A
26．解析：圆2＋2＝16的圆心为M，半径为4，
直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
＝＝＝4，由勾股定理可得＝＝3，CD选项正确．
故选ACD.
答案：ACD
27．解析：(1)f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)≤0，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>－lna，令f′(x)<0，得x<－lna，
所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
(2)方法一 由(1)得当a>0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，
令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－＝a2－lna－，a∈(0，＋∞)，
所以g′(a)＝2a－，令g′(a)>0，得a>；令g′(a)<0，得0所以函数g(a)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以函数g(a)的最小值为g()＝()2－ln＝ln>0，
所以当a>0时，f(x)>2lna＋成立．
方法二 当a>0时，由(1)得，f(x)min＝f(－lna)＝1＋a2＋lna，
故欲证f(x)>2lna＋成立，
只需证1＋a2＋lna>2lna＋，
即证a2－>lna.
构造函数u(a)＝lna－(a－1)(a>0)，
则u′(a)＝－1＝，所以当a>1时，u′(a)<0；当00.
所以函数u(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以u(a)≤u(1)＝0，即lna≤a－1，
故只需证a2－>a－1，即证a2－a＋>0，
因为a2－a＋＝(a－)2＋>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna＋成立．
28．解析：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
＝＝≈0.42＝42%.故选C.
答案：C
29．解析：因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以≥，故A正确；由Lp＝20×lg，得p＝>10，所以>20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝＋2≥1，所以p1≤100，故D正确．综上，选ACD.
答案：ACD