新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第三讲圆锥曲线__大题备考微专题3定值问题

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(1)求C1和C2的方程；
(2)是否存在常数m，使为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
技法领悟
圆锥曲线中定值问题的解题策略
(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；
(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．
[巩固训练3] [2023·河北唐山三模]已知双曲线E：－y2＝1(a>0)，左、右顶点分别为A1，A2，经过右焦点F垂直于x轴的直线与E相交于A，B两点，且|AB|＝1.
(1)求E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝a2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P1，P2两点，记直线P1A1的斜率为k1，P2A2的斜率为k2，那么k1·k2是否为定值？并说明理由．
微专题3 定值问题
提分题
[例3] (1)解析：由已知可得，l的方程为x＝，
代入抛物线方程可得，y2＝p2，解得y＝±p，所以|MN|＝2p.
由题意知2p＝4，得p＝2，
所以，抛物线方程是y2＝4x.
所以直线l的方程为x＝1，焦点F(1，0)，所以c＝1.
将直线l的方程x＝1代入椭圆方程可得，y2＝，解得y＝±，
所以|PQ|＝.
由已知可得，，解得，
所以，椭圆的方程为＝1.
(2)
解析：假设存在常数m，使为定值．
设直线l的方程为：x＝ny＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程，消x化简得y2－4ny－4＝0.
则Δ＝16n2＋16>0恒成立，且，
所以|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4(n2＋1)．
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
联立方程，消x化简得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0.
则Δ＝144(n2＋1)>0恒成立，且，
所以|PQ|＝|y3－y4|＝＝＝.
所以，＝＝.
因为为定值，
所以有＝，所以m＝－3.
所以假设成立．
所以存在常数m＝－3，使为定值－.
[巩固训练3] (1)解析：设F(c，0)，把x＝c代入到E的方程，得－y2＝1，即y＝±，
因为|AB|＝1，所以＝1，即a＝2，则双曲线E的方程为－y2＝1.
(2)解析：k1·k2为定值，理由如下：
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1<0，x2>0，.
因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝4相切，所以＝2，即m2＝4(1＋k2)，
联立，消去y并整理得(1－4k2)x2－8mkx－(4m2＋4)＝0，
所以，
因为x1<0，x2>0，x1x2＝<0，即4k2－1<0，
所以x2－x1＝＝
＝＝.
由(1)知A1(－2，0)，A2(2，0)．
k1·k2＝＝
＝＝＝
＝＝＝－.
即k1k2为定值．