新教材2023版高中数学第一章直线与圆章末复习课学案北师大版选择性必修第一册

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第一章章末复习课一、直线方程的求法及应用求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)．(1)若点C的坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；(2)若M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．跟踪训练1　已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．二、两条直线的位置关系解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．例2　(1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．跟踪训练2　(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________．(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________．三、距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：例3　直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．跟踪训练3　已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程．四、对称问题1．关于点的对称问题(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P是线段AB的中点，并且(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则P是线段AB的中点．2．关于直线的对称问题(1)点关于直线的对称问题：若A，B两点关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线．①直线AB与直线l垂直；②线段AB的中点在直线l上；③直线l上任意一点到A，B两点的距离相等．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则P是线段AB的中点．例4　已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．跟踪训练4　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．五、求圆的方程求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．例5　一个圆C和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)，求圆C的方程．跟踪训练5　已知直线l经过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．六、直线与圆、圆与圆的位置关系圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边解题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．例6　有一个圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的标准方程．跟踪训练6　已知圆C经过M(1，0)，N(2，1)两点，且圆心C在直线x＋2y－2＝0上．(1)求圆C的方程；(2)过点P(0，1)的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．七、与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题包括：(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；(3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解．例7　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．求：(1)的最大值和最小值；(2)x－2y的最大值和最小值．跟踪训练7　已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝ eq \f(2－1,3－0)＝ eq \f(1,3)，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，∴AB边上的高所在的直线方程为y－0＝－3(x－1)，化为一般式可得3x＋y－3＝0.(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)，∴kBC＝ eq \f(2－1,3－2)＝1，∴边BC所在的直线方程为y－1＝x－2，化为一般式可得x－y－1＝0.跟踪训练1　解析：(1)由题意知AC边上的高所在直线的斜率为 eq \f(1,2)，故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－13＝0，,2x－y－5＝0，))求得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝4，))故点C的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，4)).(2)设B(m，n)，则M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6,2)，\f(n＋1,2))).把点M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(m＋6,2)－\f(n＋1,2)－5＝0，,m－2n－5＝0，))求得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(7,3)，,n＝－\f(11,3)，))，故点B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(11,3))).再用两点式求得直线BC的方程为 eq \f(y－4,－\f(11,3)－4)＝ eq \f(x－\f(9,2),－\f(7,3)－\f(9,2))，化简为46x－41y－43＝0.例2　解析：(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝ eq \f(3,8).所以当a＝ eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．答案：(1)－1　(2) eq \f(3,8)跟踪训练2　解析：(1)∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，∴2a－3(a＋1)＝0，∴a＝－3.(2)kAC＝ eq \f(3－1,－2－1)＝－ eq \f(2,3)，kBC＝ eq \f(y－1,0－1)＝1－y.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴－ eq \f(2,3)(1－y)＝－1，∴y＝－ eq \f(1,2).答案：(1)－3　(2)－ eq \f(1,2)例3　解析：当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则 eq \f(|4k－3|,\r(1＋k2))＝3 eq \r(2).解得k＝± eq \f(3\r(14),2)－6，∴y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x.当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则 eq \f(|4＋3－a|,\r(2))＝3 eq \r(2)，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.综上，所求直线方程为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.跟踪训练3　解析：当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.由题意知 eq \f(|3k－1|,\r(k2＋1))＝ eq \r(2)，解得k＝1或k＝－ eq \f(1,7).所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为 eq \f(x,a)－ eq \f(y,a)＝1，即x－y－a＝0.由题意知 eq \f(|3－1－a|,\r(2))＝ eq \r(2)，解得a＝4或a＝0(舍去).所以所求直线的方程为x－y－4＝0.综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.例4　解析：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7)).所以P′(－2，7).(2)法一：联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)．))所以直线l1与l的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2，0)，过点(2，0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x0－y0＋3＝0，,x0＋3y0＝2，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(7,10)，,y0＝\f(9,10)．))即交点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10))).又点(2，0)关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10)))对称的点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，所以过两点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))的直线方程为 eq \f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝ eq \f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，整理，得7x＋y＋22＝0.则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.法二：在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3·\f(x1＋x′,2)－\f(y1＋y′,2)＋3＝0，,\f(y′－y1,x′－x1)·3＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－4x′＋3y′－9,5)，,y1＝\f(3x′＋4y′＋3,5)．))又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0.所以 eq \f(－4x′＋3y′－9,5)－ eq \f(3x′＋4y′＋3,5)－2＝0，即 7x′＋y′＋22＝0.所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.任取y＝3x＋3上的一点(0，3)，则该点关于点A(3，2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′).则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x′,2)＝3，,\f(3＋y′,2)＝2，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝6，,y′＝1.))代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.故直线l′的方程为y′＝3x′－17，即所求直线的方程为3x－y－17＝0.跟踪训练4　解析：(1)设A′(x，y)，由已知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))所以A′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上，设M′(a，b)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得M′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，则由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.例5　解析：由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圆心为(1，0)，半径为1.∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋ eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－ eq \r(3))，可得圆心与点M(3，－ eq \r(3))的连线与直线x＋ eq \r(3)y＝0垂直，其斜率为 eq \r(3).设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋\r(3),a－3)＝\r(3)，,\r(（a－1）2＋b2)＝1＋r，,r＝\f(|a＋\r(3)b|,2)，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6.))∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 eq \r(3))2＝36.跟踪训练5　解析：(1)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,4x－3y－5＝0))解得两直线的交点为(2，1)，∵l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l过点(2，1)，∴l的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))\s\up12(2)＋2＝r2，))解得a＝3，r＝2.∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.例6　解析：设圆心为C，则CA⊥l.又设直线CA与圆的另一个交点为P.∵CA⊥l，∴直线CA的斜率为－ eq \f(3,4)，故直线CA的方程为y－6＝－ eq \f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝ eq \f(6－2,3－5)＝－2，从而由平面几何知识可知kPB＝ eq \f(1,2)，则直线PB的方程为x－2y－1＝0.解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3，))即点P的坐标为(7，3).∵圆心C为AP的中点，∴圆心C的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半径长|CA|＝ eq \f(5,2)，∴所求圆的标准方程为(x－5)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(25,4).跟踪训练6　解析：(1)线段MN的中垂线方程为x＋y－2＝0，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,x＋2y－2＝0))得圆心C的坐标(2，0)，所以半径r＝1，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，∵CA⊥CB, ∴C到AB的距离为 eq \f(\r(2),2)，即 eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(|2k＋1|,\r(1＋k2))，解得k＝－1或k＝－ eq \f(1,7)，故直线l的方程为x＋y－1＝0或7y＋x－7＝0.例7　解析：法一　(1)设k＝ eq \f(y－2,x－1)，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.∵P(x，y)为圆C上任一点，∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝ eq \f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝ eq \f(|2－3k|,\r(1＋k2))≤1，即|2－3k|≤ eq \r(1＋k2)，平方得到8k2－12k＋3≤0，解得 eq \f(3－\r(3),4)≤k≤ eq \f(3＋\r(3),4)，故 eq \f(y－2,x－1)的最大值为 eq \f(3＋\r(3),4)，最小值为 eq \f(3－\r(3),4).(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，∵P(x，y)为圆C上任一点，∴则圆心(－2，0)到直线的距离d＝ eq \f(|－2－b|,\r(1＋22))＝ eq \f(|b＋2|,\r(5))≤1，即|b＋2|≤ eq \r(5)，则－2－ eq \r(5)≤b≤ eq \r(5)－2，即x－2y的最大值为 eq \r(5)－2，最小值为－2－ eq \r(5).法二　(1) eq \f(y－2,x－1)可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率．令k＝ eq \f(y－2,x－1)，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，此时 eq \f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝ eq \f(3±\r(3),4).故 eq \f(y－2,x－1)的最大值为 eq \f(3＋\r(3),4)，最小值为 eq \f(3－\r(3),4).(2)设b＝x－2y，即y＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(b,2)，当y＝－ eq \f(1,2)x－ eq \f(b,2)与圆相切时，纵截距－ eq \f(b,2)取得最值，从而b取得最值，此时 eq \f(|－2－b|,\r(12＋（－2）2))＝1，解得b＝－2± eq \r(5).故x－2y的最大值为－2＋ eq \r(5)，最小值为－2－ eq \r(5).跟踪训练7　解析：法一　设x＋y＝t，由题意知直线x＋y＝t与圆(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共点，∵d≤r，即 eq \f(|3＋3－t|,\r(2))≤ eq \r(6)，∴6－2 eq \r(3)≤t≤6＋2 eq \r(3)，∴x＋y的最小值为6－2 eq \r(3)，最大值为6＋2 eq \r(3).法二　设x＋y＝b，即y＝－x＋b.当y＝－x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时 eq \f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝ eq \r(6)，即b＝6±2 eq \r(3).故x＋y的最大值为6＋2 eq \r(3)，最小值为6－2 eq \r(3).类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝点到直线的距离P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)d＝(A2＋B2≠0)两平行直线的距离l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)d＝