数学北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第一课时导学案

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[教材要点]
要点一 空间两直线的夹角
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈________，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉________或________，也就是说：当0≤〈a，b〉≤时，θ＝________，
当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉，故cs θ＝________．
要点二 直线与平面的夹角
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(图1)，或θ＝〈l，n〉－(图2)，故sin θ＝|cs 〈l，n〉|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(2)直线与平面的夹角都是锐角．( )
(3)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．( )
(4)当直线与平面的夹角为0°时，说明直线与平面平行．( )
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
3．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．
4．已知直线l的方向向量为s＝(1，0，0)，平面π的法向量为n＝(2，1，1)，则直线与平面夹角的正弦值为__________．
题型一 直线间的夹角
例1 如图所示，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．
方法归纳
求异面直线的夹角，用向量法比较简单，若用基向量求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标系求解，一定要将每个点的坐标写正确．
跟踪训练1 如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角．
题型二 直线与平面间的夹角
例2 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．
方法归纳
求直线与平面所成角的步骤
1．分析图形关系，建立空间直角坐标系；
2．求出直线的方向向量a和平面的法向量n；
3．求出夹角〈a，n〉；
4．判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.
跟踪训练2 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．
题型三 线面角的综合问题
例3 如图，在四棱锥P­ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC＝AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值．
方法归纳
根据图形与已知条件，建立适当的空间直角坐标系，本题建系是解决线面角的关键所在．
跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
[课堂十分钟]
1．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则直线l与平面α夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C．－ D．
2．已知在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线AB1与ED1夹角的余弦值为( )
A． B．
C．－ D．－
3.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱CD、BC的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2，0)，则两条直线夹角的余弦值为________．
5．已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)求异面直线CM与SN的夹角；
(2)求SN与平面CMN的夹角．
第1课时 直线与直线、直线与平面的夹角
新知初探·课前预习
要点一
相等 互补 〈a，b〉 |cs 〈a，b〉|
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cs 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°.
答案：C
3．解析：∵cs 〈s1，s2〉＝＝－
∴l1，l2夹角的余弦值为
故选B.
答案：B
4．解析：∵cs 〈s，n〉＝＝＝＞0，故〈s，n〉＜，
∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉，
∴sin θ＝sin()＝cs 〈s，n〉＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O­xyz，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)
，A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－).
∴|cs 〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为.
答案：
跟踪训练1 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a).
∴＝(0，－a，a)，＝(－a，a，0)，
∴cs 〈，〉＝
＝＝－
∴〈，〉＝，∴异面直线BA1和AC的夹角为.
答案：
例2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，()
则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，
C1(-)，B1(0，a，a)，
则＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，x，y)，则n·＝0，且n·＝0，
∴ax＝0，且ay＝0，∴x＝y＝0，故n＝(λ，0，0).
又＝(-)，
∴cs 〈，n〉＝＝＝－.
设AC1与侧面ABB1A1的夹角为θ，则sin θ＝|cs 〈，n〉|＝，
∴θ＝30°，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
跟踪训练2 解析：如图，建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0，)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).所以A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1B1＝(0，1，0).设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由
知即
所以
故可取n＝(1，0，－1).
故cs 〈，n〉＝＝，
所以〈，n〉＝60°，
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
例3 解析：(1)证明：∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，
∵AD∥BC，BC＝AD，E为AD的中点，则BC∥DE且BC＝DE.
∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∴AP⊥BE.
又∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD，且E为AD的中点，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC，又AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.
∵PO⊂平面APC，∴BE⊥PO.
∵AP⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，∴AP⊥PC，
又AC＝AB＝AP，∴△PAC为等腰直角三角形，
∵O为斜边AC上的中点，∴PO⊥AC且AC∩BE＝O，
∴PO⊥平面ABCD
(2)以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O­xyz，如图所示．
不妨设OB＝1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－2，1，0)，
则＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(－2，1，－1).
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
即
令z＝1，得n＝(1，3，1).
设BC与平面PBD所成角为θ，
则sin θ＝|cs 〈，n〉|＝＝.
跟踪训练3 解析：(1)证明：方法一：如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，
A1E⊂ 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F，
又A1E∩A1F＝A1，
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
方法二：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，
所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，
B(，1，0)，B1(，3，2)，
F()，C(0，2，0).
因此，＝()，
＝(－，1，0)，
由·＝0，得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.
由(1)可得＝(－，1，0)，
＝(0，2，－2).
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取n＝(1，，1)，
故sin θ＝|cs 〈，n〉|＝＝.
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
[课堂十分钟]
1．解析：∵cs 〈a，n〉＝＝＝，
∴直线l与平面α夹角的正弦值为，余弦值为 ＝.故选D.
答案：D
2．解析：∵A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)，
∴＝(0，－2，2)，＝(0，1，2)，
||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，
∴cs 〈，〉＝＝＝，
∴直线AB1与ED1夹角的余弦值为.故选A.
答案：A
3．解析：建立以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系D1­xyz，设正方体棱长为1，则：A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，E(0，，1)，设平面D1B1E的法向量为n＝(x，y，z)
则 ∴
解得n＝(1，－1，)
又＝(0，1，－1)
设直线AB1与平面B1D1EF所成的角的大小为θ
故可得sin θ＝|cs 〈n，〉|＝
故可得AB1与平面B1D1EF所成的角的大小为.
故选B.
答案：B
4．解析：据题意知cs 〈a，b〉＝＝＝＝.
答案：
5．解析：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，
M(1)，N()，S()
(1)证明：＝(1)，
＝().
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.故异面直线CM与SN的夹角为90°.
(2)＝()，设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则n·＝0，n·＝0，
即令x＝2得n＝(2，1，－2)，
因为|cs 〈n，〉|＝||＝，所以SN与平面CMN的夹角为45°.