高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册1.1 导数概念及其意义导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册1.1 导数概念及其意义导学案，共4页。

教 材 要 点
要点一 瞬时速度
设物体运动的距离与时间之间的关系是s＝f(t)，则平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的________，就是物体在任意时刻t的瞬时速度❶.
批注❶ 平均速度反映了物体在某一时间内运动的快慢程度，瞬时速度是物体某一时刻的速度．
要点二 导数的定义
设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)❷.
批注❷ f′(x0)也可表述为
f′(x0)＝＝，Δx不可以是0.
要点三 导函数的定义
若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都________，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数❸或一阶导数．
既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在定义区间任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f‴(x)等等．
批注❸ 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数．它们之间的关系是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]内变化快慢的物理量．( )
(2)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数．( )
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与d的正、负无关．( )
2．一物体按规律s(t)＝t2运动，则在t＝1时的瞬时速度是( )
A．1 B．2
C．4 D．16
3．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为1，则当h趋近于0时，趋近于( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
求瞬时速度
例1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(1)求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
(2)求物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
方法归纳
求运动物体瞬时速度的一般步骤
巩固训练1 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
导数定义的应用
例2 求函数y＝x－在x＝1处的导数．
方法归纳
用导数定义求函数在某一点处的导数的一般步骤
巩固训练2 求函数f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1处的导数．
1．1.2 瞬时变化率与导数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
极限
要点二
f(x0＋d)－f(x0)
要点三
存在
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)×
2．解析：＝＝＝d＋2，
当d趋近于0时，d＋2趋近于2，
所以t＝1时的瞬时速度是2.
答案：B
3．解析：由导数的定义可知：当h→0，趋近于f′(x0)＝1.
答案：A
4．解析：物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
答案：相等
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)按定义计算
＝＝3＋d，
∵d→0时，3＋d→3，
∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
(2)设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
＝2t0＋1＋d，
d→0时，2t0＋1＋d→2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4，
∴物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
巩固训练1 解析：∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为
＝＝4a＋ad，
d→0时，4a＋ad→4a，即4a＝8，即a＝2.
例2 解析：因为函数的改变量为(1＋d)－－(1－)＝d＋，
所以平均变化率为＝1＋.
d→0时，1＋→2，
所以f′(1)＝2，即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
巩固训练2 解析：∵f(1＋d)－f(1)＝[3(1＋d)2＋a(1＋d)＋b]－(3＋a＋b)＝3d2＋(6＋a)d，
∴＝＝3d＋6＋a.
又当d→0时，3d＋6＋a趋近于6＋a.
因此f′(1)＝6＋a.