湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第2课时导学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第2课时导学案，共10页。

教 材 要 点
要点一 向量法判断线线平行
设直线l1的方向向量为v1＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v2＝(x2，y2，z2)，则l1∥l2❶⇔________⇔________．
批注❶ 注意l1与l2是两条不重合的直线．
要点二 向量法判断线面平行
设直线l的方向向量为v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，
则l∥α❷⇔__________⇔__________⇔________．
批注❷ 必须说明直线不在平面内！
要点三 向量法判断面面平行
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β❸⇔________⇔________⇔__________．
批注❸ 必须说明两个平面不重合！
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )
(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )
2．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，则l1，l2的位置关系是( )
A．垂直 B．重合
C．平行 D．平行或重合
3．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．以上选项都不对
4．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 向量法证明线线平行
例1 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
方法归纳
利用向量法证明线线平行的2种方法
巩固训练1 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型 2 向量法证明线面平行
例2 在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3 向量法证明面面平行
例3 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3 已知正方体ABCD­A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
第2课时 向量与平行
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
v1∥v2
要点二
v⊥n v·n＝0 xa＋yb＋zc＝0
要点三
n1∥n2 n2＝kn1
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√
2．解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝，
所以v1＝－2v2，
即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
答案：D
3．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，
则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，
故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α.
答案：D
4．解析：∵n1＝(1，2，2)，n2＝(3，6，6)，
∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.
答案：α∥β
题型探究·课堂解透
例1
证明：方法一 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz.
则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，
∴＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
方法二 ＝＝，＝＋＝＋，
∴＝∥，即RS∥PQ.
巩固训练1
证明：以点D为坐标原点，分别以为正交基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，
∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝，
∥，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
例2
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，
设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，)．
方法一 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，)，＝(a，，－)，
则有即
即令z＝1，则所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二 因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(，0)，所以＝(，0，－)．
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三 假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ(0，)＋μ(a，，－)，
则有解得
所以＝－，
又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
巩固训练2 证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB⊄平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
例3 解析：
如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由条件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，G(，1，4)．
所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，
＝(0，2，－2)，＝(，1，1)，＝(0，1，1)．
方法一 因为·＝0，
·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.
因为BA＝B，所以B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，
·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
方法二 设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
令y1＝1，则n1＝(0，1，－1)．
设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
即
令y2＝1，则n2＝(0，1，－1)．
所以n1＝n2，
所以平面EGF∥平面ABD.
巩固训练3
证明：方法一 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz，则A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)．
设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
令y1＝1，可得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1，1，－1)．
设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，
由得
令y2＝1，可得平面BDC′的一个法向量为n2＝(－1，1，－1)．
则n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.
方法二 同方法一知＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(0，1，1)，
所以＝＝，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
又BC′，DC′⊂平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.
又AD′＝A，AD′，AB′⊂平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′.