湘教版（2019）选择性必修 第二册3.2 离散型随机变量及其分布列导学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第二册3.2 离散型随机变量及其分布列导学案，共6页。

教 材 要 点
要点一 方差
设离散型随机变量X的分布列为
由数学期望的公式可知D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝______________．
则称D(X)为随机变量X的方差，并称 为X的标准差❶.通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差.
批注❶ 随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散；反之，越小，X的取值越集中在E(X)附近．
要点二 几个特殊分布的期望与方差
要点三 几个常用公式
若Y＝aX＋b，a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝________，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(X＋b)＝D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)❷
批注❷ 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变；若离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍．

基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．( )
(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )
(3)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．( )
2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则D(ξ)＝( )
B． D．3.56
3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )
；0.5 B．0.5；0.75
C.0.5；0.25 D．1；0.75
4．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差σ(X)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
方差、标准差的概念及性质
例1 已知X的分布列如表：
(1)计算X的方差及标准差；
(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
方法归纳
对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
巩固训练1 已知η的分布列为：
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
几类特殊的分布
例2 已知某运动员投篮命中率P＝0.6.
(1)求一次投篮中命中次数X的期望与方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的期望与方差．
方法归纳
求几类特殊分布的方差的步骤
巩固训练2 甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25.设随机变量X表示译出密码的人数，求期望，方差和标准差．
方差的实际应用问题
例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
方法归纳
利用期望与方差的意义分析解决实际问题的策略
巩固训练3 有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
乙：
试分析两名学生的成绩水平．
3．2.4 离散型随机变量的方差
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(x1－E(x))2p1＋(x2－E(x))2p2＋…＋(xn－E(x))2pn
要点二
p(1－p) np(1－p)
要点三
(1)0
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)×
2．解析：由题意，得E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.
答案：D
3．解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.
答案：C
4．解析：ξ的标准差σ(X)＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：由分布列的性质，知＋a＝1，故a＝.
所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
(1)X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，
＝.
(2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
巩固训练1 解析：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))
＝22D(η)＝4×384＝1 536.
例2 解析：(1)方法一 投篮一次命中次数X的分布列为
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
方法二 X服从两点分布，
∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.24.
(2)由题意可知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故由二项分布期望与方差的计算公式有
E(Y)＝5×0.6＝3，D(Y)＝5×0.6×0.4＝1.2.
巩固训练2 解析：依题意X～B(3，)，
所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3×＝，
标准差为＝.
例3 解析：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
因为E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又因为D(ξ)所以甲的射击技术好，故应选甲．
巩固训练3 解析：因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，
即E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定．X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
分布
数学期望(均值)
方差
两点分布X～B(1，p)
E(X)＝p
D(X)＝________
二项分布X～B(n，p)
E(X)＝np
D(X)＝________
ξ
1
3
5
P
0.4
0.1
0.5
X
－1
0
1
P
a
η
0
10
20
50
60
P
分数X
80
90
100
概率P
0.2
0.6
0.2
分数Y
80
90
100
概率P
0.4
0.2
0.4
X
0
1
P
0.4
0.6
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2