数学选择性必修 第一册1.3 等比数列学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 等比数列学案设计，共8页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)理解等比数列的概念和通项公式的意义．
(2)掌握等比数列的通项公式．
(3)能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 等比数列的概念
1．文字语言：一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项之比都等于________常数，那么这个数列称为等比数列❶，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母________表示．
2．符号语言：＝q❷(q为常数，n∈N＋)
要点二 等比数列的通项公式
若数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝a1qn－1❸.
要点三 等比中项
在两个数a，b中间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．❹
批注❶ 比是有顺序的，不能有0项！
批注❷ 公比q是除0之外的任意实数，当q＝1时，此时为常数列，也是等差数列．
批注❸ 公式中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
批注❹ 只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项．
基础自测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列为{an}，且满足＝q(n≥2，q为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )
(2)在等比数列{an}中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( )
(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )
(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( )

2．(多选)下列数列不是等比数列的是( )
A．2，22，3×22，…
B．，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0，0，0，…
3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝( )
A．±2 B．2
C．－2 D．4
4.－1与＋1的等比中项是( )
A．B．－
C．± D．±
5．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等比数列通项公式的应用
例1 在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
方法归纳
等比数列中求an的2种常用方法
巩固训练1 (1)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于( )
A．12 B．18
C．24 D．36
(2)已知{an}为等比数列，且a2＝2，a4＋a6＝，则{an}的公比q等于( )
A． B．
C．－ D．±
题型2 等比中项及其应用
例2 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
方法归纳
(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
巩固训练2 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
题型3 等比数列的实际应用
例3 某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
(1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
(2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？
方法归纳
解等比数列应用题的一般步骤
巩固训练3 某教育网站本月的用户为500人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)?
易错辨析 忽略等比数列各项的符号规律致错
例4 在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝( )
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．－27
解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9.
答案：B
【易错警示】
1．3 等比数列
1．3.1 等比数列及其通项公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．2 同一个 q(q≠0)
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：A中，≠，A不是等比数列；B中，＝＝…，B是等比数列；C中，当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．
答案：ACD
3．解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3，
∴q＝，∴a3＝＝2.
答案：B
4．解析：－1与＋1的等比中项是±＝±.
答案：C
5．解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
答案：－2n或(－2)n
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
(2)方法一 由已知可得
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二 因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
巩固训练1 解析：(1)设公比为q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0，
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.
(2)∵数列{an}为等比数列，
∴a4＋a6＝a2q2＋a2q4＝2(q2＋q4)＝，即16q4＋16q2－117＝0，
∴(4q2＋13)(4q2－9)＝0，解得q2＝，即q＝±.经检验q＝±均满足题意．
答案：(1)B (2)D
例2 解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，
因为a2－a5＝42，所以q≠1，
由已知，得，
所以，
因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得q(1－q)＝.
所以q＝.
所以a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，
则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9.
所以a5，a7的等比中项是±3.
巩固训练2 解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9，
∴b<0，∴b＝－3.
又b2＝ac，∴ac＝9.
答案：B
例3 解析：(1)由题意，得b1＝＝0.65 g/ml，
a1＝＝1.55 g/ml.
当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，
an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，
∴an－bn＝(an－1－bn－1)，
∴等比数列{an－bn}的公比为，
其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，
∴an－bn＝0.9·.
(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·<10－2，
∴n>1＋≈7.49，
∴至少要操作8次才能达到要求．
巩固训练3 解析：根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列{an}，
则首项a1＝500，公比q＝1＋10%＝1.1，
则由an＝500×1.1n＝10 000可得，1.1n＝20，
则n＝lg1.120≈31.4，所以大约经过32个月可使用户达到1万人．出错原因
纠错心得
没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a7＝±9，错选A.
在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当．